2014 AMC 12B 第 23 题

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23.

数

2017

是质数。设

S = \sum_{k=0}^{62} \binom{2014}{k}

。

S

除以

2017

的余数是多少？

The number

2017

is prime. Let

S = \sum_{k=0}^{62} \binom{2014}{k}.

What is the remainder when

S

is divided by

2017?

32

684

1024

1576

2016

答案：C

知识点：组合模运算裂项相消

难度评级：2560

小提示：

模

2017

下，用

2016 \equiv -1

，

2015 \equiv -2

，依此类推来化简

\binom{2014}{k}

。

Modulo

2017,

reduce

\binom{2014}{k}

using

2016 \equiv -1,

2015 \equiv -2,

and so on

大提示：

这给出

\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2}

，然后交错和会裂项相消。

This gives

\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2},

and the alternating sum telescopes

解答：

在模

2017

下，恒等式

\binom{2014}{k} \cdot k! \cdot (2014-k)! = 2014!

结合

2016 \cdot 2015 \cdots (2015-k)

\equiv (-1)^k (k+2)!

，得到

\begin{gathered} 2\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \\ {}\cdot (k+2)(k+1) \pmod{2017}\text{，} \end{gathered}

因此

\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2}

。

于是

\begin{gathered} S \equiv \sum_{k=0}^{62} (-1)^k \binom{k+2}{2} \\ = 1 \\ {}+ \sum_{k=1}^{31}\left[\binom{2k+2}{2} - \binom{2k+1}{2}\right] \\ = 1 + \sum_{k=1}^{31}(2k+1)\text{。} \end{gathered}

剩下的和为

3 + 5 + \cdots + 63 = 1023

，所以

S \equiv 1 + 1023

= 1024 \pmod{2017}

。

所以正确答案是 C。

Working modulo

2017,

the identity

\binom{2014}{k} \cdot k! \cdot (2014-k)! = 2014!

together with

2016 \cdot 2015 \cdots (2015-k)

\equiv (-1)^k (k+2)!

leads to

\begin{gathered} 2\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \\ {}\cdot (k+2)(k+1) \pmod{2017}, \end{gathered}

so

\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2}.

Then

\begin{gathered} S \equiv \sum_{k=0}^{62} (-1)^k \binom{k+2}{2} \\ = 1 \\ {}+ \sum_{k=1}^{31}\left[\binom{2k+2}{2} - \binom{2k+1}{2}\right] \\ = 1 + \sum_{k=1}^{31}(2k+1). \end{gathered}

The remaining sum is

3 + 5 + \cdots + 63 = 1023,

so

S \equiv 1 + 1023

= 1024 \pmod{2017}.

Thus, the correct answer is C.

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