2014 AMC 12A 第 20 题

Question

在

\triangle BAC

中，

\angle BAC=40^\circ

，

AB=10

，

AC=6

。点

D

和

E

分别在

\overline{AB}

和

\overline{AC}

上。

BE+DE+CD

的最小可能值是多少？

In

\triangle BAC,

\angle BAC=40^\circ,

AB=10,

and

AC=6.

Points

D

and

E

lie on

\overline{AB}

and

\overline{AC},

respectively. What is the minimum possible value of

BE+DE+CD?

6\sqrt3+3

\dfrac{27}{2}

8\sqrt3

14

3\sqrt3+9

答案：D

知识点：反射（几何）余弦定理最优化

难度评级：2110

小提示：

将

B

关于直线

AC

反射到

B'

，将

C

关于直线

AB

反射到

C'

Reflect

B

over line

AC

to

B'

and

C

over line

AB

to

C'

大提示：

路径变为

B'E+ED+DC'

，直线段

B'C'

最短；再用

\angle B'AC'=120^\circ

和余弦定理。

The path becomes

B'E+ED+DC'

, minimized as the straight segment

B'C'

; use the Law of Cosines with

\angle B'AC'=120^\circ

解答：

将

B

关于直线

AC

反射到

B'

，将

C

关于直线

AB

反射到

C'

。于是

BE=B'E

、

CD=C'D

，从而

BE+DE+CD

=B'E+ED+DC'

，这是从

B'

到

C'

的一条折线路径。

当这条路径成为直线段

B'C'

时长度最小。此时

AB'=AB=10

、

AC'=AC=6

，并且

\angle B'AC'=3\cdot40^\circ=120^\circ

。

由余弦定理，

\begin{gathered} B'C'^2=10^2+6^2\\ {}-2\cdot10\cdot6\cos120^\circ\\ =136+60\\ =196\text{，} \end{gathered}

所以

B'C'=14

。

所以正确答案是 D。

Reflect

B

across line

AC

to get

B',

and reflect

C

across line

AB

to get

C'.

Then

BE=B'E

and

CD=C'D,

so

BE+DE+CD

=B'E+ED+DC',

a broken path from

B'

to

C'.

This is minimized when the path is the straight segment

B'C'.

We have

AB'=AB=10,

AC'=AC=6,

and

\angle B'AC'=3\cdot40^\circ=120^\circ.

By the Law of Cosines,

\begin{gathered} B'C'^2=10^2+6^2\\ {}-2\cdot10\cdot6\cos120^\circ\\ =136+60\\ =196, \end{gathered}

so

B'C'=14.

Thus, the correct answer is D.

2014 AMC 12A 第 20 题

答案：D

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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