Question

函数的定义域是一个长度为 $\dfrac{m}{n}$ 的区间，其中 $m$ 、 $n$ 是互质正整数。 $m+n$ 是多少？ $\tiny f(x)=\log_{1/2}\!\left(\log_4\!\left(\log_{1/4}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\right)\right)\right)$

The domain of the function $\tiny f(x)=\log_{1/2}\!\left(\log_4\!\left(\log_{1/4}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\right)\right)\right)$ is an interval of length $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$19$

$31$

$271$

$319$

$511$

答案：C

知识点：对数不等式

难度评级：1910

解答：

从外向内看， $f$ 有定义当且仅当 $\log_4\!\left(\log_{1/4}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\right)\right)$ $\gt0$ ，这等价于 $\log_{1/4}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\right)\gt1$ 。

因为底数 $\tfrac14\lt1$ ，这意味着 $0\lt\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\lt\tfrac14$ ，于是 $1\lt\log_{1/16}x\lt16^{1/4}=2$ 。

又因为 $\tfrac{1}{16}\lt1$ ，不等号反向，得到 $\left(\tfrac{1}{16}\right)^2\lt x\lt\left(\tfrac{1}{16}\right)^1$ ，即 $\tfrac{1}{256}\lt x\lt\tfrac{1}{16}$ 。区间长度为 $\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{256}=\tfrac{15}{256}$ ，所以 $m+n=15+256=271$ 。

所以正确答案是 C。

Working from the outside, $f$ is defined exactly when $\log_4\!\left(\log_{1/4}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\right)\right)$ $\gt0,$ which is equivalent to $\log_{1/4}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\right)\gt1.$

Since the base $\tfrac14\lt1,$ this means $0\lt\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\lt\tfrac14,$ hence $1\lt\log_{1/16}x\lt16^{1/4}=2.$

As $\tfrac{1}{16}\lt1,$ this reverses to $\left(\tfrac{1}{16}\right)^2\lt x\lt\left(\tfrac{1}{16}\right)^1,$ i.e. $\tfrac{1}{256}\lt x\lt\tfrac{1}{16}.$ The length is $\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{256}=\tfrac{15}{256},$ so $m+n=15+256=271.$

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12A 第 18 题

答案：C

难度评级：1910

解答：

其他年份的第 18 题