2013 AMC 12B 第 23 题

Question

Bernardo 选择一个三位正整数

N

，并把它以

5

为底和以

6

为底的表示都写在黑板上。后来 LeRoy 看到了 Bernardo 写的两个数。他把这两个表示当作以

10

为底的整数相加，得到整数

S

。例如，若

N = 749

，Bernardo 写下

10{,}444

和

3{,}245

，LeRoy 得到

S = 13{,}689

。有多少个

N

使得

S

最右边两位数字按顺序与

2N

的最右边两位数字相同？

Bernardo chooses a three-digit positive integer

N

and writes both its base-

5

and base-

6

representations on a blackboard. Later LeRoy sees the two numbers Bernardo has written. Treating the two numbers as base-

10

integers, he adds them to obtain an integer

S.

For example, if

N = 749,

Bernardo writes the numbers

10{,}444

and

3{,}245,

and LeRoy obtains the sum

S = 13{,}689.

For how many choices of

N

are the two rightmost digits of

S,

in order, the same as those of

2N?

5

10

15

20

25

答案：E

知识点：进制模运算分类讨论

难度评级：2510

小提示：

因为

\mathrm{lcm}(5^2, 6^2, 10^2) = 900

，条件只取决于

N \bmod 900

，所以可令

N

从

0

到

899

变化。

Since

\mathrm{lcm}(5^2, 6^2, 10^2) = 900,

the condition depends only on

N \bmod 900,

so let

N

range from

0

to

899

大提示：

匹配个位会迫使

5

进制和

6

进制的个位数字相等；再模

100

处理可确定允许的末两位数字对。

Matching last digits forces the base-

5

and base-

6

units digits equal; working modulo

100

pins down the allowed last-two-digit pairs

解答：

因为

\mathrm{lcm}(25, 36, 100) = 900

，关于

N

的条件只取决于

N \bmod 900

，所以考虑

0 \le N \le 899

。设以

5

为底的表示的末两位为

a_1, a_0

，以

6

为底的表示的末两位为

b_1,b_0

。模

10

时，所要求的相等以及

N\equiv a_0\pmod5

迫使

a_0=b_0

。再对模

25

和

36

应用中国剩余定理，得到

\begin{aligned} N&\equiv180a_1+150b_1 \\ &\quad {}+a_0\pmod{900} \end{aligned}\text{。}

把这个余数的两倍模

100

与十进制数

10(a_1+b_1)+a_0+b_0

比较，可化简为

5a_1\equiv b_1\pmod{10}

。因此有效的数对恰好是

(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5)

。每一对都可与

5

种

a_0

的取法

(0 \le a_0 \le 4)

结合，共给出

25

个

N

。所以正确答案是 E。

Because

\mathrm{lcm}(25, 36, 100) = 900,

the condition on

N

depends only on

N \bmod 900,

so consider

0 \le N \le 899.

Let the last two base-

5

digits be

a_1, a_0

and the last two base-

6

digits be

b_1,b_0.

Modulo

10,

the desired equality and

N\equiv a_0\pmod5

force

a_0=b_0.

The Chinese Remainder Theorem applied modulo

25

and

36

then gives

\begin{aligned} N&\equiv180a_1+150b_1 \\ &\quad {}+a_0\pmod{900}. \end{aligned}

Comparing twice this residue modulo

100

with the decimal number

10(a_1+b_1)+a_0+b_0

reduces to

5a_1\equiv b_1\pmod{10}.

Hence the valid pairs are exactly

(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5).

Each combines with

5

choices of

a_0

(0 \le a_0 \le 4),

giving

25

values of

N.

Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12B 第 23 题

答案：E

难度评级：2510

小提示：

大提示：

解答：

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