2012 AMC 12B 第 20 题

Question

一个梯形的边长为

3

、

5

、

7

和

11

。所有可能面积之和可以写成

r_1\sqrt{n_1} + r_2\sqrt{n_2} + r_3

，其中

r_1

、

r_2

、

r_3

是有理数，且

n_1

和

n_2

是不被任何质数的平方整除的正整数。不超过下式的最大整数是多少？

r_1 + r_2 + r_3 + n_1 + n_2\text{？}

A trapezoid has side lengths

3,

5,

7,

and

11.

The sum of all the possible areas of the trapezoid can be written in the form of

r_1\sqrt{n_1} + r_2\sqrt{n_2} + r_3,

where

r_1,

r_2,

and

r_3

are rational numbers and

n_1

and

n_2

are positive integers not divisible by the square of a prime. What is the greatest integer less than or equal to

r_1 + r_2 + r_3 + n_1 + n_2?

57

59

61

63

65

答案：D

知识点：梯形海伦公式分类讨论

难度评级：2150

小提示：

平移一条腰：若梯形平行边为

a\lt c

，两腰为

b,d

则会得到边长为

b,d,c-a

的三角形

Slide one parallel side over: a trapezoid with parallel sides

a\lt c

and legs

b,d

gives a triangle with sides

b,d,c-a

大提示：

三角形不等式迫使较长的平行边为

11

；在

a=3,5,7

的情况中使用海伦公式

The triangle inequality forces the longer parallel side to be

11;

apply Heron’s formula in the cases

a=3,5,7

解答：

对于平行边为

a\lt c

、两腰为

b,d

的梯形，平移一条腰会形成边长为

b

，

d

，和

c-a

的三角形。三角形不等式迫使较长的平行边为

c=11

。

若

a=3

，三角形边长为

5,7,8

，面积为

10\sqrt3

，梯形面积为

\tfrac{35}{2}\sqrt3

。若

a=5

，三角形边长为

3,6,7

，面积为

4\sqrt5

，梯形面积为

\tfrac{32}{3}\sqrt5

。若

a=7

，三角形边长为

3,4,5

，是直角三角形，梯形面积为

27

。

总和为

\tfrac{35}{2}\sqrt3+\tfrac{32}{3}\sqrt5+27

，所以

\begin{gathered} r_1+r_2+r_3+n_1+n_2 \\ = \tfrac{35}{2}+\tfrac{32}{3}+27+3+5 \\ = 63+\tfrac16 \end{gathered}\text{。}

小于或等于这个值的最大整数是

63

。

因此正确答案是 D。

For a trapezoid with parallel sides

a\lt c

and legs

b,d,

translating a leg forms a triangle with sides

b,

d,

and

c-a.

The triangle inequality forces the longer parallel side to be

c=11.

If

a=3,

the triangle has sides

5,7,8

with area

10\sqrt3,

and the trapezoid has area

\tfrac{35}{2}\sqrt3.

If

a=5,

the triangle has sides

3,6,7

with area

4\sqrt5,

giving trapezoid area

\tfrac{32}{3}\sqrt5.

If

a=7,

the triangle has sides

3,4,5,

a right triangle, giving trapezoid area

27.

The total is

\tfrac{35}{2}\sqrt3+\tfrac{32}{3}\sqrt5+27,

so

\begin{gathered} r_1+r_2+r_3+n_1+n_2 \\ = \tfrac{35}{2}+\tfrac{32}{3}+27+3+5 \\ = 63+\tfrac16. \end{gathered}

The greatest integer at most this value is

63.

Thus, the correct answer is D.

2012 AMC 12B 第 20 题

答案：D

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

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