Question

三角形 $ABC$ 中， $AB=13$ ， $BC=14$ ， $AC=15$ 。点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $AB$ 、 $BC$ 、 $AC$ 的中点。设 $X\ne E$ 是 $\triangle BDE$ 与 $\triangle CEF$ 的外接圆的另一个交点。 $XA+XB+XC$ 等于多少？

Triangle $ABC$ has $AB=13,$ $BC=14,$ and $AC=15.$ The points $D,$ $E,$ and $F$ are the midpoints of $AB,$ $BC,$ and $AC$ respectively. Let $X\ne E$ be the intersection of the circumcircles of $\triangle BDE$ and $\triangle CEF.$ What is $XA+XB+XC?$

$24$

$14\sqrt{3}$

$\dfrac{195}{8}$

$\dfrac{129\sqrt{7}}{14}$

$\dfrac{69\sqrt{2}}{4}$

答案：C

知识点：外接圆、外心与外接圆半径圆周角海伦公式

难度评级：2220

解答：

因为 $DE\parallel AC$ 且 $EF\parallel AB,$ 所以 $\angle BDE=\angle BAC=\angle EFC.$ 由圆周角定理， $\angle BXE=\angle BDE$ 且 $\angle EXC=\angle EFC,$ 从而 $\angle BXE=\angle EXC.$ 再由 $BE=EC,$ 可得 $XB=XC.$

此外， $\angle BXC=2\angle BAC.$ 在 $\triangle BXC$ 中使用弦长公式，得到 $BC=2XB\sin(\angle BAC),$ 在 $\triangle ABC$ 中使用同一公式，得到 $BC=2R\sin(\angle BAC).$ 因此 $XB=XC=R.$ 在 $BC$ 的这一侧，到 $B$ 和 $C$ 的距离都等于 $R$ 的点就是 $\triangle ABC,$ 的外心，所以 $XA=XB=XC=R.$

由海伦公式， $13$ - $14$ - $15$ 三角形的面积是 $84$ ，所以 $R=\dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\dfrac{65}{8},$ 并且 $XA+XB+XC=3R=\dfrac{195}{8}.$

因此，正确答案是 C。

Since $DE\parallel AC$ and $EF\parallel AB,$ we get $\angle BDE=\angle BAC=\angle EFC.$ By the Inscribed Angle Theorem, $\angle BXE=\angle BDE$ and $\angle EXC=\angle EFC,$ so $\angle BXE=\angle EXC.$ With $BE=EC,$ this forces $XB=XC.$

Also $\angle BXC=2\angle BAC.$ The chord formula in $\triangle BXC$ gives $BC=2XB\sin(\angle BAC),$ while the same formula in $\triangle ABC$ gives $BC=2R\sin(\angle BAC).$ Thus $XB=XC=R.$ The point at distance $R$ from both $B$ and $C$ on this side of $BC$ is the circumcenter of $\triangle ABC,$ so $XA=XB=XC=R.$

The area of the $13$ - $14$ - $15$ triangle is $84$ by Heron's formula, so $R=\dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\dfrac{65}{8},$ and $XA+XB+XC=3R=\dfrac{195}{8}.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12B 第 20 题

答案：C

难度评级：2220

解答：

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