Question

等差数列 $(a_n)$ 和 $(b_n)$ 的各项都是整数，且 $a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2$ 。若对某个 $n$ 有 $a_nb_n=2010$ ，则 $n$ 的最大可能值是多少？

Arithmetic sequences $(a_n)$ and $(b_n)$ have integer terms with $a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2$ and $a_nb_n=2010$ for some $n.$ What is the largest possible value of $n?$

$2$

$3$

$8$

$288$

$2009$

答案：C

知识点：等差数列整除性最大公约数

难度评级：1950

解答：

因为 $a_n=1+(n-1)d_1$ 、 $b_n=1+(n-1)d_2$ ，其中 $d_1,d_2$ 为整数，所以 $n-1$ 同时整除 $a_n-1$ 和 $b_n-1$ ，从而整除 $\gcd(a_n-1,b_n-1)$ 。

满足 $2\le a_n\le b_n$ 的 $2010$ 因数对为 $(2,1005)$ 、 $(3,670)$ 、 $(5,402)$ 、 $(6,335)$ 、 $(10,201)$ 、 $(15,134)$ 和 $(30,67)$ 。

除了 $(15,134)$ 外，每对的 $a_n-1$ 和 $b_n-1$ 都互质，迫使 $n=2$ 。对于 $(15,134)$ ， $\gcd(14,133)=7$ ，所以 $n-1$ 可以等于 $7$ ，得到 $n=8$ 。

数列 $a_n=2n-1$ 和 $b_n=19n-18$ 可以达到这个值，因此最大值为 $8$ 。

所以正确答案是 C。

Since $a_n=1+(n-1)d_1$ and $b_n=1+(n-1)d_2$ for integers $d_1,d_2,$ the value $n-1$ divides both $a_n-1$ and $b_n-1,$ hence divides $\gcd(a_n-1,b_n-1).$

The factor pairs of $2010$ with $2\le a_n\le b_n$ are $(2,1005),$ $(3,670),$ $(5,402),$ $(6,335),$ $(10,201),$ $(15,134),$ and $(30,67).$

For every pair except $(15,134),$ the numbers $a_n-1$ and $b_n-1$ are relatively prime, forcing $n=2.$ For $(15,134),$ $\gcd(14,133)=7,$ so $n-1$ can equal $7,$ giving $n=8.$

The sequences $a_n=2n-1$ and $b_n=19n-18$ realize this, so the largest value is $8.$

Thus, C is the correct answer.

2010 AMC 12A 第 20 题

答案：C

难度评级：1950

解答：

其他年份的第 20 题