2010 AMC 12A 第 20 题

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20.

等差数列

(a_n)

和

(b_n)

的各项都是整数，且

a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2

。若对某个

n

有

a_nb_n=2010

，则

n

的最大可能值是多少？

Arithmetic sequences

(a_n)

and

(b_n)

have integer terms with

a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2

and

a_nb_n=2010

for some

n.

What is the largest possible value of

n?

2

3

8

288

2009

答案：C

知识点：等差数列整除性最大公约数

难度评级：1950

小提示：

写成

a_n=1+(n-1)d_1

、

b_n=1+(n-1)d_2

，所以

n-1

同时整除

a_n-1

和

b_n-1

。

Write

a_n=1+(n-1)d_1

and

b_n=1+(n-1)d_2,

so

n-1

divides both

a_n-1

and

b_n-1

大提示：

检查

2010

的每对因数，且令

a_n\le b_n

；然后

n-1

必须整除

\gcd(a_n-1,b_n-1)

。

Check each factor pair of

2010

with

a_n\le b_n;

then

n-1

must divide

\gcd(a_n-1,b_n-1)

解答：

因为

a_n=1+(n-1)d_1

、

b_n=1+(n-1)d_2

，其中

d_1,d_2

为整数，所以

n-1

同时整除

a_n-1

和

b_n-1

，从而整除

\gcd(a_n-1,b_n-1)

。

满足

2\le a_n\le b_n

的

2010

因数对为

(2,1005)

、

(3,670)

、

(5,402)

、

(6,335)

、

(10,201)

、

(15,134)

和

(30,67)

。

除了

(15,134)

外，每对的

a_n-1

和

b_n-1

都互质，迫使

n=2

。对于

(15,134)

，

\gcd(14,133)=7

，所以

n-1

可以等于

7

，得到

n=8

。

数列

a_n=2n-1

和

b_n=19n-18

可以达到这个值，因此最大值为

8

。

所以正确答案是 C。

Since

a_n=1+(n-1)d_1

and

b_n=1+(n-1)d_2

for integers

d_1,d_2,

the value

n-1

divides both

a_n-1

and

b_n-1,

hence divides

\gcd(a_n-1,b_n-1).

The factor pairs of

2010

with

2\le a_n\le b_n

are

(2,1005),

(3,670),

(5,402),

(6,335),

(10,201),

(15,134),

and

(30,67).

For every pair except

(15,134),

the numbers

a_n-1

and

b_n-1

are relatively prime, forcing

n=2.

For

(15,134),

\gcd(14,133)=7,

so

n-1

can equal

7,

giving

n=8.

The sequences

a_n=2n-1

and

b_n=19n-18

realize this, so the largest value is

8.

Thus, C is the correct answer.

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