2009 AMC 12A 第 23 题

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23.

函数

f

和

g

都是二次函数，

g(x) = -f(100 - x)

，且

g

的图像经过

f

的图像的顶点。这两个图像上的四个

x

截距按递增顺序的

x

坐标为

x_1

，

x_2

，

x_3

，和

x_4

，且

x_3 - x_2 = 150

。

x_4 - x_1

的值为

m + n\sqrt{p}

，其中

m

，

n

，和

p

是正整数，且

p

不被任何质数的平方整除。求

m + n + p

？

Functions

f

and

g

are quadratic,

g(x) = -f(100 - x),

and the graph of

g

contains the vertex of the graph of

f.

The four

x

-intercepts on the two graphs have

x

-coordinates

x_1,

x_2,

x_3,

and

x_4,

in increasing order, and

x_3 - x_2 = 150.

The value of

x_4 - x_1

is

m + n\sqrt{p},

where

m,

n,

and

p

are positive integers, and

p

is not divisible by the square of any prime. What is

m + n + p?

602

652

702

752

802

答案：D

知识点：二次方程抛物线对称性

难度评级：2420

小提示：

映射

(x, y) \mapsto (100 - x, -y)

是绕

(50, 0)

旋转

180^\circ

，它把

f

的图像变为

g

的图像。

The map

(x, y) \mapsto (100 - x, -y)

is a

180^\circ

rotation about

(50, 0)

that sends the graph of

f

to the graph of

g

大提示：

因此根配对为

x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100

；结合

x_3 - x_2 = 150

，求出

x_2, x_3

，再使用顶点条件。

So the roots pair as

x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100;

with

x_3 - x_2 = 150,

find

x_2, x_3

and use the vertex condition

解答：

因为

g(x) = -f(100 - x)

，

f

和

g

的图像关于点

(50, 0)

互为中心对称，所以四个截距成对满足

x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100

。

由

x_3 - x_2 = 150

，得

x_2 = -25

且

x_3 = 125

。

取

x_1, x_3

为

f

的两个根，其顶点的

x

坐标为

h = \dfrac{x_1 + x_3}{2}

，所以

x_1 = 2h - 125

。

f

的顶点落在

g

的图像上，这一条件给出

\begin{aligned} 1 &= \frac{f(h)}{g(h)} \\ &= \frac{(125 - h)(h - 125)}{-(h + 25)(3h - 225)} \end{aligned}\text{，}

由此解得

h = -25 \pm 75\sqrt{2}

。由于

x_1 = 2h-125

必须小于

x_2=-25

，需要

h \lt 50

，所以

h = -25-75\sqrt{2}

。

又

x_4 = 100 - x_1

，所以

\begin{aligned} x_4 - x_1 &= 350 - 4h \\ &= 450 + 300\sqrt{2} \end{aligned}\text{。}

因而

m + n + p = 450 + 300 + 2

= 752

。

因此，正确答案是 D。

Because

g(x) = -f(100 - x),

the graphs of

f

and

g

are reflections of each other through the point

(50, 0),

so the four intercepts pair up with

x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100.

With

x_3 - x_2 = 150,

we get

x_2 = -25

and

x_3 = 125.

Take

x_1, x_3

as the roots of

f,

whose vertex has

x

-coordinate

h = \dfrac{x_1 + x_3}{2},

so

x_1 = 2h - 125.

The condition that the vertex of

f

lies on the graph of

g

gives

\begin{aligned} 1 &= \frac{f(h)}{g(h)} \\ &= \frac{(125 - h)(h - 125)}{-(h + 25)(3h - 225)}, \end{aligned}

which gives

h = -25 \pm 75\sqrt{2}.

Since

x_1 = 2h-125

must be less than

x_2=-25,

we need

h \lt 50,

so

h = -25-75\sqrt{2}.

Then

x_4 = 100 - x_1,

so

\begin{aligned} x_4 - x_1 &= 350 - 4h \\ &= 450 + 300\sqrt{2}. \end{aligned}

Hence

m + n + p = 450 + 300 + 2

= 752.

Thus, the correct answer is D.

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