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2009 AMC 12A 第 23 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

函数 ff 和 gg 都是二次函数，g(x)=−f(100−x)g(x) = -f(100 - x)， 且 gg 的图像经过 ff 的图像的顶点。这两个图像上的四个 xx 截距按递增顺序的 xx 坐标为 x1x_1， x2x_2， x3x_3， 和 x4x_4， 且 x3−x2=150x_3 - x_2 = 150。 x4−x1x_4 - x_1 的值为 m+npm + n\sqrt{p}， 其中 mm， nn， 和 pp 是正整数，且 pp 不被任何质数的平方整除。求 m+n+pm + n + p？

Functions ff and gg are quadratic, g(x)=−f(100−x),g(x) = -f(100 - x), and the graph of gg contains the vertex of the graph of f.f. The four xx-intercepts on the two graphs have xx-coordinates x1,x_1, x2,x_2, x3,x_3, and x4,x_4, in increasing order, and x3−x2=150.x_3 - x_2 = 150. The value of x4−x1x_4 - x_1 is m+np,m + n\sqrt{p}, where m,m, n,n, and pp are positive integers, and pp is not divisible by the square of any prime. What is m+n+p?m + n + p?

602602

652652

702702

752752

802802

答案：D
知识点：二次方程抛物线对称性
难度评级：2420
解答：

因为 g(x)=−f(100−x)g(x) = -f(100 - x)， ff 和 gg 的图像关于点 (50,0)(50, 0)， 互为中心对称，所以四个截距成对满足 x2+x3=x1+x4=100x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100。

由 x3−x2=150x_3 - x_2 = 150， 得 x2=−25x_2 = -25 且 x3=125x_3 = 125。

取 x1,x3x_1, x_3 为 ff 的根，其顶点的 xx 坐标为 h=x1+x32h = \dfrac{x_1 + x_3}{2}，所以 x1=2h−125x_1 = 2h - 125。ff 的顶点在 gg 的图像上的条件给出 解得 h=−25±752h = -25 \pm 75\sqrt{2}。 x1=2h−125x_1 = 2h-125 x2=−25x_2=-25， h<50h \lt 50， h=−25−752h = -25-75\sqrt{2}。 1=f(h)g(h)=(125−h)(h−125)−(h+25)(3h−225), \begin{aligned} 1 &= \frac{f(h)}{g(h)} \\ &= \frac{(125 - h)(h - 125)}{-(h + 25)(3h - 225)}, \end{aligned}

因此 x4=100−x1x_4 = 100 - x_1，所以 因而 m+n+p=450+300+2m + n + p = 450 + 300 + 2 =752= 752。 x4−x1=350−4h=450+3002. \begin{aligned} x_4 - x_1 &= 350 - 4h \\ &= 450 + 300\sqrt{2}. \end{aligned}

因此，正确答案是 D。

Because g(x)=−f(100−x),g(x) = -f(100 - x), the graphs of ff and gg are reflections of each other through the point (50,0),(50, 0), so the four intercepts pair up with x2+x3=x1+x4=100.x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100.

With x3−x2=150,x_3 - x_2 = 150, we get x2=−25x_2 = -25 and x3=125.x_3 = 125.

Take x1,x3x_1, x_3 as the roots of f,f, whose vertex has xx-coordinate h=x1+x32,h = \dfrac{x_1 + x_3}{2}, so x1=2h−125.x_1 = 2h - 125. The condition that the vertex of ff lies on the graph of gg gives 1=f(h)g(h)=(125−h)(h−125)−(h+25)(3h−225), \begin{aligned} 1 &= \frac{f(h)}{g(h)} \\ &= \frac{(125 - h)(h - 125)}{-(h + 25)(3h - 225)}, \end{aligned} which gives h=−25±752.h = -25 \pm 75\sqrt{2}. Since x1=2h−125x_1 = 2h-125 must be less than x2=−25,x_2=-25, we need h<50,h \lt 50, so h=−25−752.h = -25-75\sqrt{2}.

Then x4=100−x1,x_4 = 100 - x_1, so x4−x1=350−4h=450+3002. \begin{aligned} x_4 - x_1 &= 350 - 4h \\ &= 450 + 300\sqrt{2}. \end{aligned} Hence m+n+p=450+300+2m + n + p = 450 + 300 + 2 =752.= 752.

Thus, the correct answer is D.

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