2009 AMC 12A 第 18 题

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18.

对于

k \gt 0

，令

I_k = 10\ldots064

，其中

1

和

6

之间有

k

个零。令

N(k)

为

I_k

的质因数分解中因子

2

的个数。

N(k)

的最大值是多少？

For

k \gt 0,

let

I_k = 10\ldots064,

where there are

k

zeros between the

1

and the

6.

Let

N(k)

be the number of factors of

2

in the prime factorization of

I_k.

What is the maximum value of

N(k)?

6

7

8

9

10

答案：B

知识点：质因数分解立方和与立方差

难度评级：2010

小提示：

写成

I_k = 10^{k+2} + 64 = 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6

。

Write

I_k = 10^{k+2} + 64 = 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6

大提示：

提出较小的

2

的幂；最大值出现在

k = 4

，此时

5^6 + 1

又提供一个因子

2

。

Factor out the smaller power of

2;

the largest count comes at

k = 4,

where

5^6 + 1

supplies one extra factor of

2

解答：

注意

I_k = 10^{k+2} + 64

= 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6

。

当

k \lt 4

时，第一项所含的因子

2

少于

6

个，所以

N(k) \lt 6

。当

k \gt 4

时，第一项可被

2^7

整除，但

2^6

这一项不能，所以

N(k) \lt 7

。

当

k = 4

时，

I_4 = 2^6(5^6 + 1)

。因为

5^6 + 1

= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)

= 26\cdot 601

，且

26 = 2\cdot 13

恰好再贡献一个因子

2

，所以

N(4) = 7

。

因此最大值为

7

。

因此，正确答案是 B。

Note that

I_k = 10^{k+2} + 64

= 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6.

For

k \lt 4

the first term has fewer than

6

factors of

2,

so

N(k) \lt 6.

For

k \gt 4

the first term is divisible by

2^7

but the

2^6

term is not, so

N(k) \lt 7.

For

k = 4,

I_4 = 2^6(5^6 + 1).

Since

5^6 + 1

= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)

= 26\cdot 601,

and

26 = 2\cdot 13

contributes exactly one more factor of

2,

we get

N(4) = 7.

So the maximum value is

7.

Thus, the correct answer is B.

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