Question

对于 $k \gt 0$ ，令 $I_k = 10\ldots064$ ，其中 $1$ 和 $6$ 之间有 $k$ 个零。令 $N(k)$ 为 $I_k$ 的质因数分解中因子 $2$ 的个数。 $N(k)$ 的最大值是多少？

For $k \gt 0,$ let $I_k = 10\ldots064,$ where there are $k$ zeros between the $1$ and the $6.$ Let $N(k)$ be the number of factors of $2$ in the prime factorization of $I_k.$ What is the maximum value of $N(k)?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

答案：B

知识点：质因数分解立方和与立方差

难度评级：2010

解答：

注意 $I_k = 10^{k+2} + 64$ $= 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6$ 。

当 $k \lt 4$ 时，第一项所含的因子 $2$ ，少于 $6$ 个，所以 $N(k) \lt 6$ 。当 $k \gt 4$ 时，第一项可被 $2^7$ 整除，但 $2^6$ 这一项不能，所以 $N(k) \lt 7$ 。

当 $k = 4$ 时， $I_4 = 2^6(5^6 + 1)$ 。因为 $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26\cdot 601$ ，且 $26 = 2\cdot 13$ 恰好再贡献一个因子 $2$ ，所以 $N(4) = 7$ 。

因此最大值为 $7$ 。

因此，正确答案是 B。

Note that $I_k = 10^{k+2} + 64$ $= 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6.$

For $k \lt 4$ the first term has fewer than $6$ factors of $2,$ so $N(k) \lt 6.$ For $k \gt 4$ the first term is divisible by $2^7$ but the $2^6$ term is not, so $N(k) \lt 7.$

For $k = 4,$ $I_4 = 2^6(5^6 + 1).$ Since $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26\cdot 601,$ and $26 = 2\cdot 13$ contributes exactly one more factor of $2,$ we get $N(4) = 7.$

So the maximum value is $7.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12A 第 18 题

答案：B

难度评级：2010

解答：

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