2007 AMC 12A 第 23 题

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23.

正方形

ABCD

的面积为

36

，且

AB

平行于

x

轴。顶点

A

、

B

和

C

分别在

y=\log_a x

、

y=2\log_a x

和

y=3\log_a x

的图像上。求

a

？

Square

ABCD

has area

36,

and

AB

is parallel to the

x

-axis. Vertices

A,

B,

and

C

are on the graphs of

y=\log_a x,

y=2\log_a x,

and

y=3\log_a x,

respectively. What is

a?

\sqrt[6]{3}

\sqrt3

\sqrt[3]{6}

\sqrt6

6

答案：A

知识点：对数坐标几何正方形（几何）

难度评级：1990

小提示：

因为

AB

水平且长为

6

，设

\log_a p=2\log_a q

，得

p=q^2

。

Since

AB

is horizontal with length

6,

set

\log_a p=2\log_a q,

giving

p=q^2

大提示：

解

|q^2-q|=6

得到

q

，再使用

BC=6=\log_a q

。

Solve

|q^2-q|=6

for

q,

then use

BC=6=\log_a q

解答：

设

A=(p,\log_a p)

且

B=(q,2\log_a q)

。因为

AB

水平，

\log_a p=2\log_a q=\log_a q^2

，所以

p=q^2

。

边长为

6=|p-q|=|q^2-q|

，其唯一正解是

q=3

。

因为

C=(q,3\log_a q)

，竖直边给出

BC=6=\log_a q=\log_a 3

。因此

a^6=3

，所以

a=\sqrt[6]{3}

。

因此，正确答案是 A。

Let

A=(p,\log_a p)

and

B=(q,2\log_a q).

Since

AB

is horizontal,

\log_a p=2\log_a q=\log_a q^2,

so

p=q^2.

The side length is

6=|p-q|=|q^2-q|,

whose only positive solution is

q=3.

Since

C=(q,3\log_a q),

the vertical side gives

BC=6=\log_a q=\log_a 3.

Thus

a^6=3,

so

a=\sqrt[6]{3}.

Thus, the correct answer is A.

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