2006 AMC 12B 第 20 题

Question

从区间

(0, 1)

中随机选取

x

。满足

\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0

的概率是多少？这里

\lfloor x \rfloor

表示小于或等于

x

的最大整数。

Let

x

be chosen at random from the interval

(0, 1).

What is the probability that

\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0?

Here

\lfloor x \rfloor

denotes the greatest integer that is less than or equal to

x.

\dfrac{1}{8}

\dfrac{3}{20}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{4}

答案：C

知识点：取整函数对数几何概率

难度评级：2090

小提示：

条件表示

x

和

4x

具有相同的十的幂数量级

The condition says

x

and

4x

have the same power-of-ten magnitude

大提示：

在每个区间

[10^n, 10^{n+1})

上，条件在

x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}

时成立。

On each interval

[10^n, 10^{n+1}),

the condition holds for

x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}

解答：

方程表示

\lfloor \log_{10} x \rfloor = \lfloor \log_{10} 4x \rfloor

，也就是

x

和

4x

位于同一区间

[10^n, 10^{n+1})

。

这恰好在

10^n \le x

且

4x \lt 10^{n+1}

时成立，即

10^n \le x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}

。

在

[10^n, 10^{n+1})

内，有利部分所占比例为

\begin{aligned} &\frac{\frac{10^{n+1}}{4} - 10^n}{10^{n+1} - 10^n} \\ &= \frac{\frac{10}{4} - 1}{10 - 1} = \frac{1}{6} \end{aligned}\text{。}

因为这个比例在每个这样的区间上都相同，所以总概率为

\dfrac{1}{6}

。

因此，正确答案是 C。

The equation says

\lfloor \log_{10} x \rfloor = \lfloor \log_{10} 4x \rfloor,

i.e.

x

and

4x

lie in the same interval

[10^n, 10^{n+1}).

This holds exactly when

10^n \le x

and

4x \lt 10^{n+1},

that is

10^n \le x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}.

Within

[10^n, 10^{n+1}),

the favorable fraction is

\begin{aligned} &\frac{\frac{10^{n+1}}{4} - 10^n}{10^{n+1} - 10^n} \\ &= \frac{\frac{10}{4} - 1}{10 - 1} = \frac{1}{6}. \end{aligned}

Since this fraction is the same on every such interval, the overall probability is

\dfrac{1}{6}.

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B 第 20 题

答案：C

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

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