Question

设 $A(2, 2)$ 和 $B(7, 7)$ 是平面上的点。令 $R$ 为第一象限中所有点 $C$ 组成的区域，使得 $\triangle ABC$ 是锐角三角形。区域 $R$ 的面积最接近哪个整数？

Let $A(2, 2)$ and $B(7, 7)$ be points in the plane. Define $R$ as the region in the first quadrant consisting of those points $C$ such that $\triangle ABC$ is an acute triangle. What is the closest integer to the area of the region $R?$

$25$

$39$

$51$

$60$

$80$

答案：C

知识点：坐标几何圆面积分割

难度评级：1990

解答：

直线 $AB$ 的斜率为 $1$ 。要使 $\angle A$ 为锐角， $C$ 必须在过 $A$ 且垂直于 $AB$ 的直线远侧；在第一象限中，这条线连接 $P(4, 0)$ 与 $Q(0, 4)$ 。要使 $\angle B$ 为锐角， $C$ 必须在过 $B$ 且垂直于 $AB$ 的直线近侧，这条线连接 $S(14, 0)$ 与 $T(0, 14)$ 。

为了使 $\angle C$ 为锐角， $C$ 必须在以 $AB$ 为直径的圆 $U$ 外，其半径为 $\dfrac{AB}{2} = \dfrac{5\sqrt2}{2}$ 。

所求区域是大直角三角形 $OST$ 减去小直角三角形 $OPQ$ ，再减去条带内整个圆 $U$ 的面积： $\begin{aligned} &\dfrac12 \cdot 14^2 - \dfrac12 \cdot 4^2 \\ &\quad {}- \pi\left(\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)^2 \\ &= 98 - 8 - \dfrac{25\pi}{2} \\ &= 90 - \dfrac{25\pi}{2} \approx 51. \end{aligned}$

所以正确答案是 C。

Line $AB$ has slope $1.$ For $\angle A$ to be acute, $C$ must lie beyond the line through $A$ perpendicular to $AB;$ in the first quadrant that line runs between $P(4, 0)$ and $Q(0, 4).$ For $\angle B$ to be acute, $C$ must lie before the line through $B$ perpendicular to $AB,$ between $S(14, 0)$ and $T(0, 14).$

For $\angle C$ to be acute, $C$ must lie outside the circle $U$ with diameter $AB,$ whose radius is $\dfrac{AB}{2} = \dfrac{5\sqrt2}{2}.$

The circle lies entirely inside this strip and in the first quadrant. Thus the region is the large right triangle $OST$ minus the small right triangle $OPQ$ and the full circle $U:$ $\begin{aligned} &\dfrac12 \cdot 14^2 - \dfrac12 \cdot 4^2 \\ &\quad {}- \pi\left(\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)^2 \\ &= 98 - 8 - \dfrac{25\pi}{2} \\ &= 90 - \dfrac{25\pi}{2} \approx 51. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12B 第 18 题

答案：C

难度评级：1990

解答：

其他年份的第 18 题