2003 AMC 12B 第 23 题

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23.

函数

y = \sin(\frac{1}{x})

的图像在区间

(0.0001, 0.001)

中的

x

轴截距个数最接近

The number of

x

-intercepts on the graph of

y = \sin(\frac{1}{x})

in the interval

(0.0001, 0.001)

is closest to

2900

3000

3100

3200

3300

答案：A

知识点：区间内整数计数取整函数三角学

难度评级：1950

小提示：

\sin(\frac{1}{x}) = 0

当且仅当

\frac{1}{x} = k\pi

，其中

k

为非零整数，也就是

x = \dfrac{1}{k\pi}

\sin(\frac{1}{x}) = 0

when

\frac{1}{x} = k\pi

for a nonzero integer

k,

i.e.

x = \dfrac{1}{k\pi}

大提示：

数满足

\dfrac{1000}{\pi} \lt k \lt \dfrac{10000}{\pi}

的整数

k

Count integers

k

with

\dfrac{1000}{\pi} \lt k \lt \dfrac{10000}{\pi}

解答：

截距出现在

\frac{1}{x} = k\pi

时，也就是

x = \dfrac{1}{k\pi}

，其中

k

为非零整数。

条件

0.0001 \lt \dfrac{1}{k\pi} \lt 0.001

化为

\frac{1000}{\pi} \lt k \lt \frac{10000}{\pi}\text{。}

这样的整数个数为

\begin{aligned} &\left\lfloor \frac{10000}{\pi} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1000}{\pi} \right\rfloor \\ &= 3183 - 318 = 2865\text{，} \end{aligned}

最接近

2900

。

因此，正确答案是 A。

The intercepts occur where

\frac{1}{x} = k\pi,

that is

x = \dfrac{1}{k\pi}

for a nonzero integer

k.

The condition

0.0001 \lt \dfrac{1}{k\pi} \lt 0.001

becomes

\frac{1000}{\pi} \lt k \lt \frac{10000}{\pi}.

The number of such integers is

\begin{aligned} &\left\lfloor \frac{10000}{\pi} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1000}{\pi} \right\rfloor \\ &= 3183 - 318 = 2865, \end{aligned}

closest to

2900.

Thus, the correct answer is A.

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