Question

函数 $y = \sin(1/x)$ 的图像在区间 $(0.0001, 0.001)$ 中的 $x$ 轴截距个数最接近

The number of $x$ -intercepts on the graph of $y = \sin(1/x)$ in the interval $(0.0001, 0.001)$ is closest to

$2900$

$3000$

$3100$

$3200$

$3300$

答案：A

知识点：区间内整数计数取整函数三角学

难度评级：1950

解答：

截距出现在 $1/x = k\pi$ 时，也就是 $x = \dfrac{1}{k\pi}$ ，其中 $k$ 为非零整数。

条件 $0.0001 \lt \dfrac{1}{k\pi} \lt 0.001$ 化为 $\frac{1000}{\pi} \lt k \lt \frac{10000}{\pi}.$

这样的整数个数为最接近 $2900$ 。 $\begin{aligned} &\left\lfloor \frac{10000}{\pi} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1000}{\pi} \right\rfloor \\ &= 3183 - 318 = 2865, \end{aligned}$

因此，正确答案是 A。

The intercepts occur where $1/x = k\pi,$ that is $x = \dfrac{1}{k\pi}$ for a nonzero integer $k.$

The condition $0.0001 \lt \dfrac{1}{k\pi} \lt 0.001$ becomes $\frac{1000}{\pi} \lt k \lt \frac{10000}{\pi}.$

The number of such integers is $\begin{aligned} &\left\lfloor \frac{10000}{\pi} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1000}{\pi} \right\rfloor \\ &= 3183 - 318 = 2865, \end{aligned}$ closest to $2900.$

Thus, the correct answer is A.

2003 AMC 12B 第 23 题

答案：A

难度评级：1950

解答：

其他年份的第 23 题