2003 AMC 12A 第 23 题

Question

乘积

1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 9!\,

的因数中，有多少个是完全平方数？

How many perfect squares are divisors of the product

1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 9!\,?

504

672

864

936

1008

合并这些阶乘得到

2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}

。

Combine the factorials into

2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}

平方因数中每个质数的指数都必须是偶数。

A square divisor uses an even exponent of each prime

该乘积为

1! \cdot 2! \cdots 9! = 2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}\text{。}

一个平方因数形如

2^{2a}3^{2b}5^{2c}7^{2d}

，其中

0\le a\le15

，

0\le b\le6

，

0\le c\le2

，且

0\le d\le1

。

选择数为

16\cdot7\cdot3\cdot2=672

。

所以正确答案是 B。

The product is

1! \cdot 2! \cdots 9! = 2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}.

A perfect-square divisor has the form

2^{2a}3^{2b}5^{2c}7^{2d}

with

0\le a\le15,

0\le b\le6,

0\le c\le2,

and

0\le d\le1.

The number of choices is

16\cdot7\cdot3\cdot2=672.

Thus, the correct answer is B.

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