2003 AMC 12A 第 20 题

Question

由

5

个 A、

5

个 B、

5

个 C 组成的

15

个字母排列中，前

5

个字母没有 A，中间

5

个字母没有 B，最后

5

个字母没有 C 的排列有多少个？

How many

15

-letter arrangements of

5

A’s,

5

B’s, and

5

C’s have no A’s in the first

5

letters, no B’s in the next

5

letters, and no C’s in the last

5

letters?

\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}^3

3^5 \cdot 2^5

2^{15}

\dfrac{15!}{(5!)^3}

3^{15}

答案：A

知识点：多重集排列组合分类讨论

难度评级：1910

小提示：

在第一段（没有 A）中，设有

k

个 B 和

5-k

个 C。

In the first block (no A’s), suppose there are

k

B’s and

5-k

C’s

大提示：

固定

k

后，三段中的字母数都被确定，每段的位置选择数都是

\binom{5}{k}

。

Fixing

k

determines the letter counts in all three blocks, each chosen with

\binom{5}{k}

placements

解答：

设第一段有

k

个 B 和

5-k

个 C。剩下的

k

个 C 必须放在第二段（因为第三段没有 C），于是第二段有

5-k

个 A。

那么第三段含有剩下的

k

个 A 和

5-k

个 B。

对每个

k

，第一段中的

k

个 B、第二段中的

k

个 C、第三段中的

k

个 A 的位置共有

\binom{5}{k}^3

种选法，所以总数为

\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}^3

。

所以正确答案是 A。

Suppose the first block holds

k

B’s and

5-k

C’s. The remaining

k

C’s must go in the second block (since the third has no C’s), forcing

5-k

A’s there.

Then the third block contains the remaining

k

A’s and

5-k

B’s.

For each

k,

the

k

B’s in the first block,

k

C’s in the second, and

k

A’s in the third can be placed in

\binom{5}{k}^3

ways, so the total is

\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}^3.

Thus, the correct answer is A.

2003 AMC 12A 第 20 题

答案：A

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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