2002 AMC 12B 第 18 题

Question

从顶点为

(0,0)

、

(2,0)

、

(2,1)

、

(0,1)

的矩形区域中随机选一点

P

。点

P

到原点的距离比到点

(3,1)

的距离更近的概率是多少？

A point

P

is randomly selected from the rectangular region with vertices

(0,0),

(2,0),

(2,1),

(0,1).

What is the probability that

P

is closer to the origin than it is to the point

(3,1)?

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{4}{5}

1

答案：C

知识点：几何概率垂直平分线梯形

难度评级：1610

小提示：

点

P

更靠近原点时，它位于从

(0,0)

到

(3,1)

这条线段的垂直平分线的一侧。

P

is closer to the origin on one side of the perpendicular bisector of the segment from

(0,0)

to

(3,1)

大提示：

这条垂直平分线是

3x+y=5

；求矩形中位于原点一侧的面积，再除以总面积。

That bisector is the line

3x+y=5

; find the area of the rectangle on the origin side and divide by the total area

解答：

到

(0,0)

比到

(3,1)

更近的点位于这两点连线垂直平分线的原点一侧，该垂直平分线为

3x+y=5

。

在矩形中，这一区域是一个梯形，其平行边长分别为

\dfrac53

（在

y=0

处）和

\dfrac43

（在

y=1

处），面积为

\dfrac12\left(\dfrac53+\dfrac43\right)=\dfrac32

。矩形面积为

2

，所以概率是

\dfrac{\frac{3}{2}}{2}=\dfrac34

。

所以正确答案是 C。

The points closer to

(0,0)

than to

(3,1)

lie on the origin side of the perpendicular bisector of that segment, the line

3x+y=5.

Within the rectangle, this region is a trapezoid whose parallel sides have lengths

\dfrac53

(at

y=0

) and

\dfrac43

(at

y=1

), so its area is

\dfrac12\left(\dfrac53+\dfrac43\right)=\dfrac32.

The rectangle has area

2,

so the probability is

\dfrac{\frac{3}{2}}{2}=\dfrac34.

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12B 第 18 题

答案：C

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

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