2002 AMC 12A 第 23 题

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23.

在三角形

ABC

中，边

\overline{AC}

与

\overline{BC}

的垂直平分线交于点

D

，且

\overline{BD}

平分

\angle ABC

。若

AD = 9

，

DC = 7

，求三角形

ABD

的面积。

In triangle

ABC,

side

\overline{AC}

and the perpendicular bisector of

\overline{BC}

meet in point

D,

and

\overline{BD}

bisects

\angle ABC.

If

AD = 9

and

DC = 7,

what is the area of triangle

ABD?

14

21

28

14\sqrt{5}

28\sqrt{5}

答案：D

知识点：角平分线定理垂直平分线余弦定理海伦公式

难度评级：2110

小提示：

D

在

\overline{BC}

的垂直平分线上，所以

DB = DC = 7

。

D

is on the perpendicular bisector of

\overline{BC},

so

DB = DC = 7

大提示：

角平分线给出

\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}

；再用

\triangle BDC

读出

\cos\theta

，并应用余弦定理。

The angle bisector gives

\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7};

apply the Law of Cosines with

\cos\theta

read from

\triangle BDC

解答：

因为

D

在

\overline{BC}

的垂直平分线上，所以

DB = DC = 7

。角平分线

\overline{BD}

给出

\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}

，设

AB = 9x

，

BC = 7x

。

令

\theta = \angle ABD = \angle DBC

。在等腰三角形

\triangle BDC

中，垂足是

\overline{BC}

的中点

M

，所以

\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{\frac{7x}{2}}{7} = \dfrac{x}{2}

。

在

\triangle ABD

中应用余弦定理：

9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2}\text{，}

化简得

81 = 18x^2 + 49

，所以

x = \dfrac43

，

AB = 12

。

现在

\triangle ABD

的三边为

9, 7, 12

。由海伦公式，半周长

s = 14

，面积为

\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5

。

因此，正确答案是 D。

Since

D

lies on the perpendicular bisector of

\overline{BC},

DB = DC = 7.

The angle bisector

\overline{BD}

gives

\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7},

so write

AB = 9x

and

BC = 7x.

Let

\theta = \angle ABD = \angle DBC.

In isosceles

\triangle BDC,

the foot of the perpendicular is the midpoint

M

of

\overline{BC},

so

\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{\frac{7x}{2}}{7} = \dfrac{x}{2}.

Applying the Law of Cosines in

\triangle ABD:

9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2},

which simplifies to

81 = 18x^2 + 49,

so

x = \dfrac43

and

AB = 12.

Now

\triangle ABD

has sides

9, 7, 12.

By Heron’s formula with

s = 14,

the area is

\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5.

Thus, the correct answer is D.

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