Question

在三角形 $ABC$ 中，边 $\overline{AC}$ 与 $\overline{BC}$ 的垂直平分线交于点 $D$ ，且 $\overline{BD}$ 平分 $\angle ABC$ 若 $AD = 9$ ， $DC = 7$ ，求三角形 $ABD$ 的面积。

In triangle $ABC,$ side $\overline{AC}$ and the perpendicular bisector of $\overline{BC}$ meet in point $D,$ and $\overline{BD}$ bisects $\angle ABC.$ If $AD = 9$ and $DC = 7,$ what is the area of triangle $ABD?$

$14$

$21$

$28$

$14\sqrt{5}$

$28\sqrt{5}$

答案：D

知识点：角平分线定理垂直平分线余弦定理海伦公式

难度评级：2110

解答：

因为 $D$ 在 $\overline{BC}$ 的垂直平分线上，所以 $DB = DC = 7$ 。角平分线 $\overline{BD}$ 给出 $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}$ ，设 $AB = 9x$ ， $BC = 7x$ 。

令 $\theta = \angle ABD = \angle DBC$ 。在等腰三角形 $\triangle BDC$ 中，垂足是 $\overline{BC}$ 的中点 $M$ ，所以 $\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{7x/2}{7} = \dfrac{x}{2}$ 。

在 $\triangle ABD$ 中应用余弦定理：化简得 $81 = 18x^2 + 49$ ，所以 $x = \dfrac43$ ， $AB = 12$ 。 $9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2},$

现在 $\triangle ABD$ 的三边为 $9, 7, 12$ 。由海伦公式，半周长 $s = 14$ ，面积为 $\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5$ 。

因此，正确答案是 D。

Since $D$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{BC},$ $DB = DC = 7.$ The angle bisector $\overline{BD}$ gives $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7},$ so write $AB = 9x$ and $BC = 7x.$

Let $\theta = \angle ABD = \angle DBC.$ In isosceles $\triangle BDC,$ the foot of the perpendicular is the midpoint $M$ of $\overline{BC},$ so $\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{7x/2}{7} = \dfrac{x}{2}.$

Applying the Law of Cosines in $\triangle ABD:$ $9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2},$ which simplifies to $81 = 18x^2 + 49,$ so $x = \dfrac43$ and $AB = 12.$

Now $\triangle ABD$ has sides $9, 7, 12.$ By Heron's formula with $s = 14,$ the area is $\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5.$

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 12A 第 23 题

答案：D

难度评级：2110

解答：

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