2002 AMC 12A 第 18 题

Question

设圆

C_1

和

C_2

的方程分别为

(x - 10)^2 + y^2 = 36

和

(x + 15)^2 + y^2 = 81\text{。}

线段

\overline{PQ}

在

P

点与

C_1

相切，并在

Q

点与

C_2

相切。这样的最短线段长多少？

Let

C_1

and

C_2

be circles defined by

(x - 10)^2 + y^2 = 36

and

(x + 15)^2 + y^2 = 81,

respectively. What is the length of the shortest line segment

\overline{PQ}

that is tangent to

C_1

at

P

and to

C_2

at

Q?

15

18

20

21

24

答案：C

知识点：切线相似勾股定理

难度评级：1660

小提示：

最短的这种线段是内公切线；它会在两个圆心之间与

\overline{AB}

相交。

The shortest such segment is the internal tangent; it crosses

\overline{AB}

between the centers

大提示：

交点按半径之比

6 : 9

分割

\overline{AB}

；再利用相似直角三角形。

The crossing point divides

\overline{AB}

in the ratio of the radii

6 : 9;

use similar right triangles

解答：

圆心为

A = (10, 0)

和

B = (-15, 0)

，半径分别为

6

和

9

，所以

AB = 25

。最短切线是内公切线，它在点

D

与

\overline{AB}

相交，并按

6 : 9

分割该线段，因此

D = (0, 0)

。

直角三角形

APD

和

BQD

相似，比例为

2 : 3

。因而

PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8

，

QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12

，所以

PQ = 8 + 12 = 20

。

因此，正确答案是 C。

The centers are

A = (10, 0)

and

B = (-15, 0),

with radii

6

and

9,

so

AB = 25.

The shortest tangent is the internal one, meeting

\overline{AB}

at a point

D

that splits it in the ratio

6 : 9,

giving

D = (0, 0).

The right triangles

APD

and

BQD

are similar with ratio

2 : 3.

Then

PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8

and

QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12,

so

PQ = 8 + 12 = 20.

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12A 第 18 题

答案：C

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题