2001 AMC 12 第 23 题

Question

一个首项系数为

1

、系数为整数的四次多项式有两个实零点，并且这两个实零点都是整数。以下哪一个也可能是该多项式的一个零点？

A polynomial of degree four with leading coefficient

1

and integer coefficients has two real zeros, both of which are integers. Which of the following can also be a zero of the polynomial?

\dfrac{1 + i\sqrt{11}}{2}

\dfrac{1 + i}{2}

\dfrac{1}{2} + i

1 + \dfrac{i}{2}

\dfrac{1 + i\sqrt{13}}{2}

答案：A

知识点：多项式复数二次方程

难度评级：2080

小提示：

先把两个整数根对应的因式提出：剩余因式为

x^2 + \alpha x + \beta

，其中

\alpha, \beta

是整数

Factor out the two integer roots: the remaining factor is

x^2 + \alpha x + \beta

with

\alpha, \beta

integers

大提示：

复零点为

-\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2}

；匹配实部并检查

\beta

是否为整数

The complex zeros are

-\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2};

match the real part and check that

\beta

is an integer

解答：

写成

P(x)

= (x - r)(x - s)(x^2 + \alpha x + \beta)

，其中

r, s

是整数根；比较系数可知

\alpha

和

\beta

必须是整数。

另外两个零点为

-\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2}\text{。}

若实部为

\dfrac{1}{2}

，则需要

\alpha = -1

，从而虚部为

\dfrac{\sqrt{4\beta - 1}}{2}

。

选项 A 要求

\sqrt{4\beta - 1} = \sqrt{11}

，即

\beta = 3

是整数，所以可行。其他选项都会迫使

\beta

不是整数（例如选项 E 需要

\beta = 3.5

，选项 D 需要

\alpha = -2

且

\beta = \tfrac{5}{4}

）。

因此，正确答案是 A。

Writing

P(x)

= (x - r)(x - s)(x^2 + \alpha x + \beta)

with integer roots

r, s,

matching coefficients forces

\alpha

and

\beta

to be integers.

The other two zeros are

-\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2}.

A real part of

\dfrac{1}{2}

requires

\alpha = -1,

making the imaginary part

\dfrac{\sqrt{4\beta - 1}}{2}.

Choice A needs

\sqrt{4\beta - 1} = \sqrt{11},

i.e.

\beta = 3,

an integer, so it works. The other choices force a non-integer

\beta

(for example choice E needs

\beta = 3.5,

and choice D needs

\alpha = -2