2001 AMC 12 第 20 题

Question

点

A = (3, 9)

，

B = (1, 1)

，

C = (5, 3)

，和

D = (a, b)

位于第一象限，并且是四边形

ABCD

的顶点。连接

\overline{AB}

，

\overline{BC}

，

\overline{CD}

，和

\overline{DA}

的中点所形成的四边形是一个正方形。点

D

的坐标之和是多少？

Points

A = (3, 9),

B = (1, 1),

C = (5, 3),

and

D = (a, b)

lie in the first quadrant and are the vertices of quadrilateral

ABCD.

The quadrilateral formed by joining the midpoints of

\overline{AB},

\overline{BC},

\overline{CD},

and

\overline{DA}

is a square. What is the sum of the coordinates of point

D?

7

9

10

12

16

答案：C

知识点：坐标几何中点向量

难度评级：1880

小提示：

设

M

和

N

分别为

\overline{AB}

和

\overline{BC}

的中点；先求出

M

和

N

Let

M

and

N

be the midpoints of

\overline{AB}

and

\overline{BC};

find

M

and

N

first

大提示：

下一个中点

Q

满足

\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NM}

旋转

90^\circ

后的向量（等长且垂直）

The next midpoint

Q

satisfies

\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NM}

rotated

90^\circ

(same length, perpendicular)

解答：

\overline{AB}

的中点为

M = (2, 5)

，

\overline{BC}

的中点为

N = (3, 2)

。

为了使中点四边形成为正方形，相邻边必须垂直且等长。由于

\overrightarrow{NM} = \langle -1, 3 \rangle

，通向

\overline{DA}

的中点

Q

的边向量

\overrightarrow{MQ}

必须为

\langle 3, 1 \rangle

，所以

Q = (5, 6)

。

因为

Q

是

\overline{DA}

的中点，且

A = (3, 9)

，得

D = 2Q - A = (7, 3)

。它的坐标和为

7 + 3 = 10

。

因此，正确答案是 C。

The midpoints are

M = (2, 5)

of

\overline{AB}

and

N = (3, 2)

of

\overline{BC}.

For the midpoint quadrilateral to be a square, consecutive sides are perpendicular and equal. With

\overrightarrow{NM} = \langle -1, 3 \rangle,

the side

\overrightarrow{MQ}

to the midpoint

Q

of

\overline{DA}

must be

\langle 3, 1 \rangle,

so

Q = (5, 6).

Since

Q

is the midpoint of

\overline{DA}

and

A = (3, 9),

we get

D = 2Q - A = (7, 3).

The sum of its coordinates is

7 + 3 = 10.

Thus, the correct answer is C.

2001 AMC 12 第 20 题

答案：C

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

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