2000 AMC 12 第 20 题

Question

若正数

x

、

y

和

z

满足

x + \frac{1}{y} = 4\text{，}

y + \frac{1}{z} = 1\text{，}

以及

z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3}\text{，}

则

xyz

等于多少？

If

x,

y,

and

z

are positive numbers satisfying

x + \frac{1}{y} = 4,

y + \frac{1}{z} = 1,

and

z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3},

then what is

xyz?

\dfrac{2}{3}

1

\dfrac{4}{3}

2

\dfrac{7}{3}

答案：B

知识点：方程组代数变形对称性（代数）

难度评级：1970

小提示：

将三个方程相加，并另外将三个方程相乘。

Add the three equations, and separately multiply all three together

大提示：

展开乘积会得到

xyz + \dfrac{1}{xyz}

，再加上你已经算出的和。

Expanding the product produces

xyz + \dfrac{1}{xyz}

plus the sum you already computed

解答：

三个方程相加得

\begin{gathered} \left(x + \tfrac1y\right) + \left(y + \tfrac1z\right) \\ {}+ \left(z + \tfrac1x\right) \\ = 4 + 1 + \tfrac73 \\ = \tfrac{22}{3}\text{。} \end{gathered}

三个方程相乘得

4 \cdot 1 \cdot \tfrac73 = \tfrac{28}{3}\text{。}

展开乘积，得到

\begin{aligned} &\left(x + \tfrac1y\right) \\ &\quad {}\cdot \left(y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}\cdot \left(z + \tfrac1x\right) \\ &= xyz \\ &\quad {}+ \left(x + y + z + \tfrac1x + \tfrac1y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}+ \frac{1}{xyz}\text{。} \end{aligned}

中间括号中的一组之和就是

\tfrac{22}{3}

，所以

xyz + \dfrac{1}{xyz} = \tfrac{28}{3} - \tfrac{22}{3} = 2

。

因此

(xyz - 1)^2 = 0

，所以

xyz = 1

。

因此，正确答案是 B。

Adding the three equations gives

\begin{gathered} \left(x + \tfrac1y\right) + \left(y + \tfrac1z\right) \\ {}+ \left(z + \tfrac1x\right) \\ = 4 + 1 + \tfrac73 \\ = \tfrac{22}{3}. \end{gathered}

Multiplying them gives

4 \cdot 1 \cdot \tfrac73 = \tfrac{28}{3}.

Expanding the product,

\begin{aligned} &\left(x + \tfrac1y\right) \\ &\quad {}\cdot \left(y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}\cdot \left(z + \tfrac1x\right) \\ &= xyz \\ &\quad {}+ \left(x + y + z + \tfrac1x + \tfrac1y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}+ \frac{1}{xyz}. \end{aligned}

The middle group is the sum

\tfrac{22}{3},

so

xyz + \dfrac{1}{xyz} = \tfrac{28}{3} - \tfrac{22}{3} = 2.

Hence

(xyz - 1)^2 = 0,

so

xyz = 1.

Thus, the correct answer is B.

2000 AMC 12 第 20 题

答案：B

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

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