1999 AMC 12 第 20 题

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20.

数列

a_1

，

a_2

，

a_3

，

\ldots

满足

a_1 = 19

、

a_9 = 99

，并且对所有

n \ge 3

，

a_n

是前

n - 1

项的算术平均数。求

a_2

。

The sequence

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

satisfies

a_1 = 19,

a_9 = 99,

and, for all

n \ge 3,

a_n

is the arithmetic mean of the first

n - 1

terms. Find

a_2.

29

59

79

99

179

答案：E

知识点：递推平均数不变量

难度评级：1740

小提示：

证明

a_n

对所有

n \ge 3

都相同。

Show that

a_n

is constant for all

n \ge 3

大提示：

因而

a_3 = a_9 = 99

，且

a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2}

。

Then

a_3 = a_9 = 99

and

a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2}

解答：

对

n \ge 3

有

(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}

。因此

a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n\text{，}

所以从

a_3

开始数列为常数。故

a_3 = a_9 = 99

。

又

a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99

，得

a_2 = 179

。

所以正确答案是 E。

For

n \ge 3,

(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}.

Then

a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n,

so the sequence is constant from

a_3

onward. Hence

a_3 = a_9 = 99.

Since

a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99,

we get

a_2 = 179.

Thus, the correct answer is E.

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