1994 AMC 12 第 20 题

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20.

假设

x

、

y

、

z

构成公比为

r

的等比数列，且

x\ne y

。若

x

、

2y

、

3z

构成等差数列，则

r

为

Suppose

x,

y,

z

is a geometric sequence with common ratio

r

and

x\ne y.

If

x,

2y,

3z

is an arithmetic sequence, then

r

is

\frac14

\frac13

\frac12

2

4

答案：B

知识点：geometric sequences arithmetic sequences quadratic equations

难度评级：1570

小提示：

写出

y=xr

和

z=xr^2

Write

y=xr

and

z=xr^2

大提示：

等差数列条件是

4y=x+3z

The arithmetic-sequence condition is

4y=x+3z

解答：

因为

y=xr

且

z=xr^2

，等差数列条件给出

4xr=x+3xr^2\text{。}

这里

x\ne0

，所以

3r^2-4r+1=0

，得到

r=1

或

r=\frac{1}{3}

。条件

x\ne y

排除

r=1

，只剩

r=\frac{1}{3}

。因此正确答案是 B。

Because

y=xr

and

z=xr^2,

the arithmetic-sequence condition gives

4xr=x+3xr^2.

Here

x\ne0,

so

3r^2-4r+1=0,

yielding

r=1

or

r=\frac{1}{3}.

The condition

x\ne y

excludes

r=1,

leaving

r=\frac{1}{3}.

Thus the correct answer is B.

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