1992 AMC 12 第 20 题

Question

图中显示了一个“

n

角正星形”的一部分。它是一个简单闭合多边形，其中

2n

条边全等，角

A_1

、

A_2

、

\ldots

、

A_n

全等，角

B_1

、

B_2

、

\ldots

、

B_n

也全等。若

A_1

处的锐角比

B_1

处的锐角小

10^\circ

，则

n=

Part of an “

n

-pointed regular star” is shown. It is a simple closed polygon in which all

2n

edges are congruent, angles

A_1,

A_2,

\ldots,

A_n

are congruent, and angles

B_1,

B_2,

\ldots,

B_n

are congruent. If the acute angle at

A_1

is

10^\circ

less than the acute angle at

B_1,

then

n=

12

18

24

36

60

答案：D

知识点：polygon angle sum concave polygon regular star

难度评级：2110

小提示：

设

A

类顶点和

B

类顶点处的锐角分别为

\alpha

和

\beta

Let the acute angles at the

A

- and

B

-vertices be

\alpha

and

\beta

大提示：

在每个向内凹的

B

类顶点处，多边形的内角为

360^\circ-\beta

At each inward

B

-vertex, the polygon’s interior angle is

360^\circ-\beta

解答：

设尖角与凹口处的锐角分别为

\alpha

和

\beta

，则

\beta-\alpha=10^\circ

。这个

2n

边形有

n

个内角

\alpha

和

n

个优角

360^\circ-\beta

。因此

\begin{gathered} n\alpha+n(360^\circ-\beta)\\ {}=(2n-2)180^\circ \end{gathered}\text{。}

代入

\beta-\alpha=10^\circ

，得到

350n=360n-360

，所以

n=36

。

因此正确答案是 D。

Let the acute angles at the tips and notches be

\alpha

and

\beta,

respectively, so

\beta-\alpha=10^\circ.

The

2n

-gon has

n

interior angles

\alpha

and

n

reflex interior angles

360^\circ-\beta.

Therefore

\begin{gathered} n\alpha+n(360^\circ-\beta)\\ {}=(2n-2)180^\circ. \end{gathered}

Substituting

\beta-\alpha=10^\circ

gives

350n=360n-360,

so

n=36.

Thus the correct answer is D.

1992 AMC 12 第 20 题

答案：D

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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