1991 AMC 12 第 18 题

Question

设

S

是复平面中点

z

的集合，其中

(3+4i)z

为实数，则

S

是

If

S

is the set of points

z

in the complex plane such that

(3+4i)z

is a real number, then

S

is a

直角三角形

right triangle

圆

circle

双曲线

hyperbola

直线

line

抛物线

parabola

答案：D

知识点：complex plane real and imaginary parts locus

难度评级：1780

小提示：

令

z=x+yi

，并展开乘积

Write

z=x+yi

and expand the product

大提示：

令

(3+4i)(x+yi)

的虚部等于零

Set the imaginary part of

(3+4i)(x+yi)

equal to zero

解答：

令

z=x+yi

，则

\begin{aligned} (3+4i)z &=(3x-4y)\\ &\quad +(4x+3y)i \end{aligned}\text{。}

它恰在

4x+3y=0

时为实数，而这是一条经过原点的直线的方程。

因此正确答案为 D。

Writing

z=x+yi,

\begin{aligned} (3+4i)z &=(3x-4y)\\ &\quad +(4x+3y)i. \end{aligned}

This is real exactly when

4x+3y=0,

which is the equation of a line through the origin.

Thus the correct answer is D.

1991 AMC 12 第 18 题

答案：D

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

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