1987 AMC 12 第 20 题

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20.

计算

\begin{aligned} &\log_{10}(\tan1^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan2^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan3^\circ)+\cdots\\ &\quad+\log_{10}(\tan88^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan89^\circ) \end{aligned}\text{。}

Evaluate

\begin{aligned} &\log_{10}(\tan1^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan2^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan3^\circ)+\cdots\\ &\quad+\log_{10}(\tan88^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan89^\circ). \end{aligned}

0

\frac12\log_{10}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)

\frac12\log_{10}2

1

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：logarithm product rule complementary angles tangent

难度评级：1570

小提示：

将角度为

k^\circ

的项与角度为

(90-k)^\circ

的项配对

Pair the term at angle

k^\circ

with the term at angle

(90-k)^\circ

大提示：

合并对数前，先利用

\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta

Use

\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta

before combining logarithms

解答：

对每个

k=1,\ldots,44

，

\tan k^\circ\tan(90^\circ-k^\circ)=1\text{。}

因此，每一对对数之和都为

\log_{10}1=0

。剩下的中间项为

\log_{10}(\tan45^\circ)=0

。所以整个和为

0

。

所以正确答案是 A。

For each

k=1,\ldots,44,

\tan k^\circ\tan(90^\circ-k^\circ)=1.

Thus each paired sum of logarithms is

\log_{10}1=0.

The remaining middle term is

\log_{10}(\tan45^\circ)=0.

Hence the whole sum is

0.

Thus the correct answer is A.

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