Question

对于满足 $1\le k\lt n$ 的整数 $k$ 和 $n$ ，定义 $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}\text{。}$ 则 $\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\binom nk$ 为整数

For integers $k$ and $n$ such that $1\le k\lt n,$ let $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$ Then $\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\binom nk$ is an integer

对所有 $k$ 和 $n$ 均成立

for all $k$ and $n$

对所有偶数 $k$ 和 $n$ 均成立，但并非对所有 $k$ 和 $n$ 均成立

for all even values of $k$ and $n,$ but not for all $k$ and $n$

对所有奇数 $k$ 和 $n$ 均成立，但并非对所有 $k$ 和 $n$ 均成立

for all odd values of $k$ and $n,$ but not for all $k$ and $n$

当 $k=1$ 或 $n-1$ 时成立，但并非对所有奇数 $k$ 和 $n$ 均成立

if $k=1$ or $n-1,$ but not for all odd values of $k$ and $n$

当 $n$ 能被 $k$ 整除时成立，但并非对所有偶数 $k$ 和 $n$ 均成立

if $n$ is divisible by $k,$ but not for all even values of $k$ and $n$

答案：A

知识点：组合代数变形

难度评级：2080

小提示：

把 $n-2k-1$ 拆成 $(n-k)-(k+1)$

Split $n-2k-1$ into $(n-k)-(k+1)$

大提示：

尝试把原式改写成两个相邻二项式系数之差

Try rewriting the expression as a difference of two adjacent binomial coefficients

解答：

利用 $\binom n{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom nk\text{，}$ 并写成 $\frac{n-2k-1}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}-1\text{，}$ 原式化为 $\binom n{k+1}-\binom nk\text{。}$ 对每一组允许的 $k$ 和 $n$ ，这都是整数。

所以正确答案是 A。

Using $\binom n{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom nk,$ and writing $\frac{n-2k-1}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}-1,$ the given expression becomes $\binom n{k+1}-\binom nk.$ This is an integer for every permitted $k$ and $n.$

Therefore, the correct answer is A.

1976 AMC 12 第 23 题

答案：A

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题