1955 AMC 12 第 20 题

Question

使表达式

\sqrt{25-t^2}+5

等于零的是：

The expression

\sqrt{25-t^2}+5

equals zero for:

不存在实数或虚数

t

no real or imaginary values of

t

仅不存在实数

t

no real values of

t

only

仅不存在虚数

t

no imaginary values of

t

only

t=0

t=\pm5

答案：A

知识点：principal square root radical equation complex numbers

难度评级：1340

小提示：

在进行任何代数运算前先把根式单独放在一边

Isolate the radical before doing any algebra

大提示：

若将两边平方，要在原方程中检验每个候选值，因为根式有规定的符号

If you square, check every candidate in the original equation because the radical has a prescribed sign

解答：

要使表达式为零，必须有

\sqrt{25-t^2}=-5\text{。}

根号表示主平方根。当被开方数为非负实数时，主平方根非负；在复数范围内，则选取实部非负的平方根。因此它不可能等于

-5

。两边平方会引入增根

t=0

，此时原表达式等于

10

。

因此，没有任何实数或虚数满足条件，正确答案是 A。

For the expression to vanish, one would need

\sqrt{25-t^2}=-5.

The radical sign denotes the principal square root. It is nonnegative for a nonnegative real radicand and, over the complex numbers, is chosen with nonnegative real part; it therefore cannot equal

-5.

Squaring would introduce the extraneous candidate

t=0,

for which the original expression is

10.

Thus, no real or imaginary value works, and the correct answer is A.

1955 AMC 12 第 20 题

答案：A

难度评级：1340

小提示：

大提示：

解答：

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