2025 AMC 12B Problema 8

Question

Existen enteros

a

y

b

tales que el polinomio

x^3 - 5x^2 + ax + b

tiene a

4 + \sqrt{5}

como raíz. ¿Cuánto vale

a + b

?

There are integers

a

and

b

such that the polynomial

x^3 - 5x^2 + ax + b

has

4 + \sqrt{5}

as a root. What is

a + b?

13

17

20

30

68

Respuesta: C

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio radical

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Los coeficientes enteros obligan a que el conjugado

4 - \sqrt{5}

también sea raíz.

Integer coefficients force the conjugate

4 - \sqrt{5}

to be a root as well

Pista grande:

Las tres raíces suman

5,

así que halla la tercera raíz y luego desarrolla para leer

a

y

b

.

The three roots sum to

5,

so find the third root, then expand to read off

a

and

b

Solución:

El conjugado

4 - \sqrt{5}

también es raíz, y estos dos son las raíces de

x^2 - 8x + 11.

La tercera raíz

r

satisface

8 + r = 5,

así que

r = -3.

Entonces

(x^2 - 8x + 11)(x + 3)

= x^3 - 5x^2 - 13x + 33,

lo que da

a = -13

y

b = 33,

por lo que

a + b = 20.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The conjugate

4 - \sqrt{5}

is also a root, and these two are the roots of

x^2 - 8x + 11.

The third root

r

satisfies

8 + r = 5,

so

r = -3.

Then

(x^2 - 8x + 11)(x + 3)

= x^3 - 5x^2 - 13x + 33,

giving

a = -13

and

b = 33,

so

a + b = 20.

Thus, the correct answer is C.