2025 AMC 12B Problema 19

Question

Una cuadrícula rectangular de cuadrados tiene

141

filas y

91

columnas. Cada cuadrado tiene espacio para dos números. Horace y Vera llenan cada uno la cuadrícula colocando los números del

1

al

141 \times 91 = 12{,}831

en los cuadrados. Horace la llena horizontalmente: coloca del

1

al

91

en orden de izquierda a derecha en la fila

1,

coloca del

92

al

182

en la fila

2

en orden de izquierda a derecha, y continúa de forma similar hasta la fila

141.

Vera la llena verticalmente: coloca del

1

al

141

en orden de arriba abajo en la columna

1,

luego del

142

al

282

en la columna

2

en orden de arriba abajo, y continúa de forma similar hasta la columna

91.

¿Cuántos cuadrados reciben dos copias del mismo número?

A rectangular grid of squares has

141

rows and

91

columns. Each square has room for two numbers. Horace and Vera each fill in the grid by putting the numbers from

1

through

141 \times 91 = 12{,}831

into the squares. Horace fills the grid horizontally: he puts

1

through

91

in order from left to right into row

1,

puts

92

through

182

into row

2

in order from left to right, and continues similarly through row

141.

Vera fills the grid vertically: she puts

1

through

141

in order from top to bottom into column

1,

then

142

through

282

into column

2

in order from top to bottom, and continues similarly through column

91.

How many squares get two copies of the same number?

7

10

11

12

19

Respuesta: C

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Escribe el número de Horace y el número de Vera del cuadrado en la fila

r,

columna

c

como fórmulas en

r

y

c

Write the Horace-number and the Vera-number of the square in row

r,

column

c

as formulas in

r

and

c

Pista grande:

Igualarlos da

9r = 14c - 5;

halla qué valores de

c

hacen que

r

sea un entero en el rango

Setting them equal gives

9r = 14c - 5;

find which

c

make

r

an integer in range

Solución:

En la fila

r,

columna

c,

Horace escribe

(r-1)\cdot 91 + c

y Vera escribe

(c-1)\cdot 141 + r.

Igualarlos da

90r - 140c = -50,

es decir

9r = 14c - 5.

Esto requiere

c \equiv 1 \pmod 9,

así que

c = 1, 10, 19, \ldots, 91

, esto es

11

valores, y cada uno da un

r

válido entre

1

y

141.

Así que

11

cuadrados coinciden.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In row

r,

column

c,

Horace writes

(r-1)\cdot 91 + c

and Vera writes

(c-1)\cdot 141 + r.

Setting these equal gives

90r - 140c = -50,

i.e.

9r = 14c - 5.

This requires

c \equiv 1 \pmod 9,

so

c = 1, 10, 19, \ldots, 91

— that is

11

values, and each yields a valid

r

between

1

and

141.

So

11

squares match.

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B Problema 19

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años