2025 AMC 12A Problema 11

Question

El ortocentro de un triángulo es la intersección concurrente de las tres alturas (posiblemente extendidas). ¿Cuál es la suma de las coordenadas del ortocentro del triángulo cuyos vértices son

A(2, 31),

B(8, 27),

y

C(18, 27)

?

The orthocenter of a triangle is the concurrent intersection of the three (possibly extended) altitudes. What is the sum of the coordinates of the orthocenter of the triangle whose vertices are

A(2, 31),

B(8, 27),

and

C(18, 27)?

5

17

10 + 4\sqrt{17} + 2\sqrt{13}

\dfrac{113}{3}

54

Respuesta: A

Conceptos:geometría analítica altura pendiente

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

B

y

C

comparten

y = 27,

así que la altura desde

A

es la recta vertical

x = 2

B

and

C

share

y = 27,

so the altitude from

A

is the vertical line

x = 2

Pista grande:

La altura desde

B

es perpendicular a

AC

; intersécala con

x = 2

The altitude from

B

is perpendicular to

AC

; intersect it with

x = 2

Solución:

Como

B

y

C

tienen ambos

y = 27,

el lado

BC

es horizontal y la altura desde

A

es la recta vertical

x = 2.

El lado

AC

tiene pendiente

\dfrac{27 - 31}{18 - 2} = -\dfrac{1}{4},

así que la altura desde

B

tiene pendiente

4

:

y - 27 = 4(x - 8).

En

x = 2,

y = 27 + 4(2 - 8) = 3.

El ortocentro es

(2, 3),

con suma de coordenadas

5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since

B

and

C

both have

y = 27,

side

BC

is horizontal and the altitude from

A

is the vertical line

x = 2.

Side

AC

has slope

\dfrac{27 - 31}{18 - 2} = -\dfrac{1}{4},

so the altitude from

B

has slope

4

:

y - 27 = 4(x - 8).

At

x = 2,

y = 27 + 4(2 - 8) = 3.

The orthocenter is

(2, 3),

with coordinate sum

5.

Thus, the correct answer is A.