2024 AMC 12B Problema 7

Question

En la figura de abajo,

WXYZ

es un rectángulo con

WX = 4

y

WZ = 8.

El punto

M

está sobre

\overline{XY},

el punto

A

está sobre

\overline{YZ},

y

\angle WMA

es un ángulo recto. Las áreas de

\triangle WXM

y

\triangle WAZ

son iguales. ¿Cuál es el área de

\triangle WMA

?

In the figure below

WXYZ

is a rectangle with

WX = 4

and

WZ = 8.

Point

M

lies on

\overline{XY},

point

A

lies on

\overline{YZ},

and

\angle WMA

is a right angle. The areas of

\triangle WXM

and

\triangle WAZ

are equal. What is the area of

\triangle WMA?

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Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Coloca

X = (0,0),

W = (0,4),

Y = (8,0),

Z = (8,4),

con

M = (m, 0)

y

A = (8, a)

.

Place

X = (0,0),

W = (0,4),

Y = (8,0),

Z = (8,4),

with

M = (m, 0)

and

A = (8, a)

Pista grande:

El ángulo recto da

\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA} = 0,

y la condición de áreas iguales da una segunda ecuación; despeja

m

y

a

.

The right angle gives

\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA} = 0,

and the equal-area condition gives a second equation; solve for

m

and

a

Solución:

Tomemos

X = (0,0),

W = (0,4),

Y = (8,0),

Z = (8,4),

con

M = (m, 0)

sobre

\overline{XY}

y

A = (8, a)

sobre

\overline{YZ}.

Como

\angle WMA = 90^\circ,

\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA}

= (-m)(8-m)

+ 4a = 0,

así que

4a = m(8-m).

Las áreas dan

[\triangle WXM] = \tfrac12 \cdot 4 \cdot m = 2m

y

[\triangle WAZ]

= \tfrac12 \cdot 8 \cdot (4 - a)

= 4(4 - a).

Al igualarlas se obtiene

m = 8 - 2a.

Al sustituir

a = \tfrac{8-m}{2}

en

4a = m(8-m)

se obtiene

2(8-m) = m(8-m),

así que

m = 2

y

a = 3.

La otra raíz algebraica,

m=8,

da

M=A=Y

y el ángulo

\angle WMA

no está definido, por lo que no es válida. Entonces, con

W = (0,4),

M = (2,0),

A = (8,3),

\begin{aligned} [\triangle WMA] &= \tfrac12\,\bigl|2(3 - 4) + 8(4 - 0)\bigr| \\ &= \tfrac12 (30) = 15. \end{aligned}

Así, la respuesta correcta es C.

Set

X = (0,0),

W = (0,4),

Y = (8,0),

Z = (8,4),

with

M = (m, 0)

on

\overline{XY}

and

A = (8, a)

on

\overline{YZ}.

Since

\angle WMA = 90^\circ,

\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA}

= (-m)(8-m)

+ 4a = 0,

so

4a = m(8-m).

The areas give

[\triangle WXM] = \tfrac12 \cdot 4 \cdot m = 2m

and

[\triangle WAZ]

= \tfrac12 \cdot 8 \cdot (4 - a)

= 4(4 - a).

Setting these equal yields

m = 8 - 2a.

Substituting

a = \tfrac{8-m}{2}

into

4a = m(8-m)

gives

2(8-m) = m(8-m),

so

m = 2

and

a = 3.

The other algebraic root,

m=8,

gives

M=A=Y

and no defined angle

\angle WMA,

so it is invalid. Then with

W = (0,4),

M = (2,0),

A = (8,3),

\begin{aligned} [\triangle WMA] &= \tfrac12\,\bigl|2(3 - 4) + 8(4 - 0)\bigr| \\ &= \tfrac12 (30) = 15. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.