2024 AMC 12A Problema 8

Question

¿Cuántos ángulos

\theta

con

0\le\theta\le2\pi

satisfacen

\log(\sin(3\theta))+\log(\cos(2\theta))=0

?

How many angles

\theta

with

0\le\theta\le2\pi

satisfy

\log(\sin(3\theta))+\log(\cos(2\theta))=0?

0

1

2

3

4

\log(\sin3\theta)+\log(\cos2\theta)

=\log(\sin3\theta\cos2\theta),

que debe ser igual a

0

\log(\sin3\theta)+\log(\cos2\theta)

=\log(\sin3\theta\cos2\theta),

which must equal

0

Un producto de dos números cada uno a lo sumo

1

es igual a

1

solo cuando ambos son

1

A product of two numbers each at most

1

equals

1

only when both equal

1

La ecuación significa

\sin(3\theta)\cos(2\theta)=1

con ambos factores positivos (para que los logaritmos estén definidos). Como

\sin(3\theta)\le1

y

\cos(2\theta)\le1,

su producto es

1

solo si

\sin(3\theta)=1

y

\cos(2\theta)=1

simultáneamente. Pero

\cos(2\theta)=1

obliga a

\theta\in\{0,\pi,2\pi\},

donde

\sin(3\theta)=0\ne1.

Ningún ángulo funciona. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation means

\sin(3\theta)\cos(2\theta)=1

with both factors positive (for the logs to be defined). Since

\sin(3\theta)\le1

and

\cos(2\theta)\le1,

their product is

1

only if

\sin(3\theta)=1

and

\cos(2\theta)=1

simultaneously. But

\cos(2\theta)=1

forces

\theta\in\{0,\pi,2\pi\},

where

\sin(3\theta)=0\ne1.

No angle works. Thus, the correct answer is A.

El Problema 8 en otros años