2024 AMC 12A Problema 16

Question

Un conjunto de

12

fichas, de las cuales

3

son rojas,

2

blancas,

1

azul y

6

negras, se reparte al azar entre

3

jugadores,

4

fichas por jugador. La probabilidad de que algún jugador reciba todas las fichas rojas, otro reciba todas las blancas, y el jugador restante reciba la ficha azul se puede escribir como

\dfrac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale

m+n

?

A set of

12

tokens —

3

red,

2

white,

1

blue, and

6

black — is to be distributed at random to

3

game players,

4

tokens per player. The probability that some player gets all the red tokens, another gets all the white tokens, and the remaining player gets the blue token can be written as

\dfrac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. What is

m+n?

387

388

389

390

391

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica permutaciones de multiconjuntos

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Asigna los tres roles (todas las rojas, todas las blancas, la única azul) a los jugadores de

3!

maneras

Assign the three roles (all reds, all whites, the lone blue) to the players in

3!

ways

Pista grande:

Las fichas negras deben repartirse entonces como

1,2,3

entre los jugadores; divide entre

\binom{12}{4,4,4}

The black tokens must then split as

1,2,3

among the players; divide by

\binom{12}{4,4,4}

Solución:

Tratamos todas las fichas como distintas; el número total de maneras de repartir

4

a cada jugador es

\binom{12}{4,4,4}=34650.

Para el evento favorable, elegimos qué jugador recibe las rojas, las blancas y la azul de

3!=6

maneras. El jugador rojo necesita

1

ficha más, el blanco

2

más, y el azul

3

más, todas negras; las

6

fichas negras se reparten como

1,2,3

de

\tfrac{6!}{1!\,2!\,3!}=60

maneras. Así que la probabilidad es

\dfrac{6\cdot60}{34650}=\dfrac{360}{34650}=\dfrac{4}{385}.

Entonces

m+n=4+385=389.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Treat all tokens as distinct; the total number of ways to deal

4

to each player is

\binom{12}{4,4,4}=34650.

For the favorable event, choose which player gets the reds, whites, and blue in

3!=6

ways. The red player needs

1

more token, the white player

2

more, and the blue player

3

more, all black; the

6

black tokens split as

1,2,3

in

\tfrac{6!}{1!\,2!\,3!}=60

ways. So the probability is

\dfrac{6\cdot60}{34650}=\dfrac{360}{34650}=\dfrac{4}{385}.

Then

m+n=4+385=389.

Thus, the correct answer is C.