2023 AMC 12B Problema 8

Question

¿Cuántos subconjuntos no vacíos

B

de

\{0,1,2,3,\ldots,12\}

tienen la propiedad de que el número de elementos de

B

es igual al elemento mínimo de

B

? Por ejemplo,

B=\{4,6,8,11\}

satisface la condición.

How many nonempty subsets

B

of

\{0,1,2,3,\ldots,12\}

have the property that the number of elements in

B

is equal to the least element of

B?

For example,

B=\{4,6,8,11\}

satisfies the condition.

256

136

108

144

156

Respuesta: D

Conceptos:combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Si el elemento mínimo es

m,

entonces

B

tiene exactamente

m

elementos, todos al menos

m

If the least element is

m,

then

B

has exactly

m

elements, all at least

m

Pista grande:

Elige los otros

m-1

elementos de los

12-m

enteros mayores que

m:

esto da

\binom{12-m}{m-1}

Choose the other

m-1

elements from the

12-m

integers greater than

m:

this gives

\binom{12-m}{m-1}

Solución:

Si el elemento mínimo es

m\ (m\ge 1),

entonces

|B|=m

y los

m-1

elementos restantes provienen de

\{m+1,\ldots,12\},

un conjunto de tamaño

12-m.

El conteo es

\begin{aligned} \sum_{m\ge 1}\binom{12-m}{m-1} &=\binom{11}{0} \\ &\quad {}+\binom{10}{1} \\ &\quad {}+\binom{9}{2} \\ &\quad {}+\binom{8}{3} \\ &\quad {}+\binom{7}{4} \\ &\quad {}+\binom{6}{5}, \end{aligned}

que es igual a

1+10+36+56+35+6

=144.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the least element is

m\ (m\ge 1),

then

|B|=m

and the remaining

m-1

elements come from

\{m+1,\ldots,12\},

a set of size

12-m.

The count is

\begin{aligned} \sum_{m\ge 1}\binom{12-m}{m-1} &=\binom{11}{0} \\ &\quad {}+\binom{10}{1} \\ &\quad {}+\binom{9}{2} \\ &\quad {}+\binom{8}{3} \\ &\quad {}+\binom{7}{4} \\ &\quad {}+\binom{6}{5}, \end{aligned}

which equals

1+10+36+56+35+6

=144.

Thus, the correct answer is D.