2023 AMC 12B Problema 5

Question

Estás jugando un juego. Un rectángulo

2\times 1

cubre dos casillas adyacentes (orientado horizontal o verticalmente) de una cuadrícula

3\times 3

de casillas, pero no te dicen cuáles dos casillas están cubiertas. Tu objetivo es encontrar al menos una casilla que esté cubierta por el rectángulo. Un “turno” consiste en que adivines una casilla, tras lo cual te dicen si esa casilla está cubierta por el rectángulo oculto. ¿Cuál es el número mínimo de turnos que necesitas para garantizar que al menos una de las casillas que adivinaste esté cubierta por el rectángulo?

You are playing a game. A

2\times 1

rectangle covers two adjacent squares (oriented either horizontally or vertically) of a

3\times 3

grid of squares, but you are not told which two squares are covered. Your goal is to find at least one square that is covered by the rectangle. A “turn” consists of you guessing a square, after which you are told whether that square is covered by the hidden rectangle. What is the minimum number of turns you need to ensure that at least one of your guessed squares is covered by the rectangle?

3

5

4

8

6

Respuesta: C

Conceptos:juego combinatorio argumento extremal

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Piensa en qué casillas podrías dejar sin adivinar sin tocar nunca el dominó

Think about which squares you could leave un-guessed without ever touching the domino

Pista grande:

Las casillas sin adivinar no deben contener dos casillas adyacentes; el conjunto más grande de este tipo en una cuadrícula

3\times 3

tiene

5

casillas

The un-guessed squares must contain no two adjacent squares; the largest such set in a

3\times 3

grid has

5

squares

Solución:

Un conjunto de casillas adivinadas garantiza tocar el dominó si y solo si las casillas sin adivinar no contienen dos casillas adyacentes, ya que de lo contrario el dominó podría esconderse en ese par adyacente. El conjunto más grande de casillas mutuamente no adyacentes en la cuadrícula

3\times 3

es el patrón de tablero de

5

casillas (las cuatro esquinas más el centro). Así que a lo sumo se pueden dejar

5

casillas sin adivinar, y debes adivinar

9-5=4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A set of guessed squares is guaranteed to hit the domino if and only if the un-guessed squares contain no two adjacent squares, since otherwise the domino could hide on that adjacent pair. The largest set of pairwise non-adjacent squares in the

3\times 3

grid is the

5

-square checkerboard (four corners plus the center). So at most

5

squares can be left unguessed, and you must guess

9-5=4.

Thus, the correct answer is C.