2023 AMC 12A Problema 16

Question

Considera el conjunto de números complejos

z

que satisfacen

|1+z+z^2|=4.

El valor máximo de la parte imaginaria de

z

puede escribirse en la forma

\dfrac{\sqrt{m}}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale

m+n

?

Consider the set of complex numbers

z

satisfying

|1+z+z^2|=4.

The maximum value of the imaginary part of

z

can be written in the form

\dfrac{\sqrt{m}}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. What is

m+n?

20

21

22

23

24

Respuesta: B

Conceptos:número complejo optimización

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Escribe

z=x+yi

y desarrolla

|1+z+z^2|^2=16

Write

z=x+yi

and expand

|1+z+z^2|^2=16

Pista grande:

Maximizar

y

fuerza el caso simétrico

x=-\tfrac12;

resuelve la ecuación resultante para

y

Maximizing

y

forces the symmetric case

x=-\tfrac12;

solve the resulting equation for

y

Solución:

Escribe

z=x+yi.

Entonces

1+z+z^2

=(1+x+x^2-y^2)

+y(1+2x)i,

y la restricción es

\begin{gathered} (1+x+x^2-y^2)^2\\ {}+y^2(1+2x)^2=16. \end{gathered}

En un punto donde

y

es máximo sobre esta curva cerrada y acotada, la derivación implícita (o los multiplicadores de Lagrange) da

(1+2x)\bigl(P+2y^2\bigr)=0,

donde

P=1+x+x^2-y^2.

Pero

P+2y^2=x^2+x+1+y^2\gt 0,

así que

x=-\tfrac12.

Entonces

1+2x=0,

así que la restricción se reduce a

\left(\tfrac34-y^2\right)^2=16.

Tomando

\tfrac34-y^2=-4

se obtiene

y^2=\tfrac{19}{4},

así que el máximo es

y=\dfrac{\sqrt{19}}{2}.

Aquí

m=19

y

n=2,

así que

m+n=21.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write

z=x+yi.

Then

1+z+z^2

=(1+x+x^2-y^2)

+y(1+2x)i,

and the constraint is

\begin{gathered} (1+x+x^2-y^2)^2\\ {}+y^2(1+2x)^2=16. \end{gathered}

At a point where

y

is maximal on this closed, bounded curve, implicit differentiation (or Lagrange multipliers) gives

(1+2x)\bigl(P+2y^2\bigr)=0,

where

P=1+x+x^2-y^2.

But

P+2y^2=x^2+x+1+y^2\gt 0,

so

x=-\tfrac12.

Then

1+2x=0,

so the constraint reduces to

\left(\tfrac34-y^2\right)^2=16.

Taking

\tfrac34-y^2=-4

gives

y^2=\tfrac{19}{4},

so the maximum is

y=\dfrac{\sqrt{19}}{2}.

Here

m=19

and

n=2,

so

m+n=21.

Thus, the correct answer is B.