Los números reales positivos x y y satisfacen y^3=x^2 y (y-x)^2=4y^2. ¿Cuánto vale x+y ?

2023 AMC 12A Problema 10

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

Los números reales positivos

x

y

satisfacen

y^3=x^2

(y-x)^2=4y^2.

¿Cuánto vale

x+y

Positive real numbers

x

and

y

satisfy

y^3=x^2

and

(y-x)^2=4y^2.

What is

x+y?

12

18

24

36

42

Respuesta: D

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Al tomar raíces cuadradas,

y-x=\pm 2y

Taking square roots,

y-x=\pm 2y

Pista grande:

La positividad descarta un signo y obliga a

x=3y;

sustituye en

y^3=x^2

Positivity rules out one sign and forces

x=3y;

substitute into

y^3=x^2

Solución:

(y-x)^2=4y^2

obtenemos

y-x=\pm 2y.

La opción

y-x=2y

x=-y\lt 0,

imposible, así que

y-x=-2y,

es decir

x=3y.

Sustituyendo en

y^3=x^2=9y^2

se obtiene

y=9,

de donde

x=27

x+y=36.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From

(y-x)^2=4y^2

we get

y-x=\pm 2y.

The choice

y-x=2y

gives

x=-y\lt 0,

impossible, so

y-x=-2y,

meaning

x=3y.

Substituting into

y^3=x^2=9y^2