2022 AMC 12B Problema 8

Question

¿Cuál es la gráfica de

y^4 + 1 = x^4 + 2y^2

en el plano de coordenadas?

What is the graph of

y^4 + 1 = x^4 + 2y^2

in the coordinate plane?

dos parábolas que se cortan

two intersecting parabolas

dos parábolas que no se cortan

two nonintersecting parabolas

dos circunferencias que se cortan

two intersecting circles

una circunferencia y una hipérbola

a circle and a hyperbola

una circunferencia y dos parábolas

a circle and two parabolas

Pasa todo a un lado para obtener

(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2

.

Move everything to one side to get

(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2

Factoriza como diferencia de cuadrados, lo que da dos ecuaciones separadas.

Factor as a difference of squares, giving two separate equations

Reordenando,

y^4 - 2y^2 + 1 = x^4,

así que

(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2.

Esto se factoriza como

(y^2 - 1 - x^2)(y^2 - 1 + x^2) = 0.

Así, o bien

y^2 - x^2 = 1,

que es una hipérbola, o bien

x^2 + y^2 = 1,

que es una circunferencia.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Rearranging,

y^4 - 2y^2 + 1 = x^4,

so

(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2.

This factors as

(y^2 - 1 - x^2)(y^2 - 1 + x^2) = 0.

Thus either

y^2 - x^2 = 1,

which is a hyperbola, or

x^2 + y^2 = 1,

which is a circle.

Thus, the correct answer is D.

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