2022 AMC 12B Problema 7

Question

Camila escribe cinco enteros positivos. La moda única de estos enteros es

2

mayor que su mediana, y la mediana es

2

mayor que su media aritmética. ¿Cuál es el menor valor posible de la moda?

Camila writes down five positive integers. The unique mode of these integers is

2

greater than their median, and the median is

2

greater than their arithmetic mean. What is the least possible value for the mode?

5

7

9

11

13

Respuesta: D

Conceptos:moda mediana (datos)media optimización

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

La moda supera a la mediana, así que solo puede aparecer entre los dos números más grandes.

The mode exceeds the median, so it can only appear among the two largest numbers

Pista grande:

Sea la mediana

m;

para que la moda sea única, los dos mayores deben ser ambos iguales a

m+2,

y la suma es

5(m-2)

.

Let the median be

m;

for a unique mode the two largest must both equal

m+2,

and the sum is

5(m-2)

Solución:

Ordena los números de forma creciente con mediana

m.

La moda es

m + 2 \gt m,

así que solo puede aparecer entre las dos entradas mayores; para que sea la moda única, ambas deben ser iguales a

m + 2.

La media es

m - 2,

así que el total es

5(m-2).

Con los dos mayores iguales a

m + 2

y la mediana

m,

los dos menores suman

5(m-2) - m - 2(m+2)

= 2m - 14.

Los dos menores son enteros positivos distintos, así que

2m - 14 \ge 1 + 2 = 3,

lo que da

m \ge 9.

Con

m = 9

la lista

1, 3, 9, 11, 11

funciona, así que la menor moda es

m + 2 = 11.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

List the numbers in increasing order with median

m.

The mode is

m + 2 \gt m,

so it can only occur among the two largest entries; for it to be the unique mode, both of them must equal

m + 2.

The mean is

m - 2,

so the total is

5(m-2).

With the two largest equal to

m + 2

and the median

m,

the two smallest sum to

5(m-2) - m - 2(m+2)

= 2m - 14.

The two smallest are distinct positive integers, so

2m - 14 \ge 1 + 2 = 3,

giving

m \ge 9.

With

m = 9

the list

1, 3, 9, 11, 11

works, so the least mode is

m + 2 = 11.

Thus, the correct answer is D.