2022 AMC 12B Problema 16

Question

Supón que

x

e

y

son números reales positivos tales que

x^y = 2^{64}

y

(\log_2 x)^{\log_2 y} = 2^7.

¿Cuál es el mayor valor posible de

\log_2 y

?

Suppose

x

and

y

are positive real numbers such that

x^y = 2^{64}

and

(\log_2 x)^{\log_2 y} = 2^7.

What is the greatest possible value of

\log_2 y?

3

4

3 + \sqrt2

4 + \sqrt3

7

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo sustitución cuadrática

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Sea

a = \log_2 x

y

b = \log_2 y;

toma

\log_2

de ambas ecuaciones.

Let

a = \log_2 x

and

b = \log_2 y;

take

\log_2

of both equations

Pista grande:

Obtienes

a \cdot 2^b = 2^6

y

a = 2^{\frac{7}{b}};

combínalas para formar una ecuación cuadrática en

b

.

You get

a \cdot 2^b = 2^6

and

a = 2^{\frac{7}{b}};

combine to form a quadratic in

b

Solución:

Sea

a = \log_2 x

y

b = \log_2 y.

Tomando

\log_2

de

x^y = 2^{64}

se obtiene

y \log_2 x = 64,

es decir,

a \cdot 2^b = 2^6.

Tomando

\log_2

de la segunda ecuación se obtiene

b \log_2 a = 7,

así que

a = 2^{\frac{7}{b}}.

Sustituyendo,

2^{\frac{7}{b}} \cdot 2^b = 2^6,

así que

b + \dfrac7b = 6,

es decir,

b^2 - 6b + 7 = 0.

Así,

b = 3 \pm \sqrt2,

y el mayor valor de

\log_2 y

es

3 + \sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

a = \log_2 x

and

b = \log_2 y.

Taking

\log_2

of

x^y = 2^{64}

gives

y \log_2 x = 64,

i.e.

a \cdot 2^b = 2^6.

Taking

\log_2

of the second equation gives

b \log_2 a = 7,

so

a = 2^{\frac{7}{b}}.

Substituting,

2^{\frac{7}{b}} \cdot 2^b = 2^6,

so

b + \dfrac7b = 6,

i.e.

b^2 - 6b + 7 = 0.

Thus

b = 3 \pm \sqrt2,

and the greatest value of

\log_2 y

is

3 + \sqrt2.

Thus, the correct answer is C.