2022 AMC 12B Problema 11

Question

Sea

\begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n, \end{aligned}

donde

i = \sqrt{-1}.

¿Cuánto vale

f(2022)

?

Let

\begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n, \end{aligned}

where

i = \sqrt{-1}.

What is

f(2022)?

-2

-1

0

\sqrt3

2

Las dos bases son las raíces cúbicas primitivas de la unidad,

\omega

y

\omega^2

.

The two bases are the primitive cube roots of unity,

\omega

and

\omega^2

Entonces

f(n) = \omega^n + \omega^{-n};

reduce el exponente

2022

módulo

3

.

Then

f(n) = \omega^n + \omega^{-n};

reduce the exponent

2022

modulo

3

Las dos bases son las raíces cúbicas primitivas de la unidad,

\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}

y su conjugada

\omega^2 = e^{-\frac{2\pi i}{3}}.

Así,

f(n) = \omega^n + \omega^{-n} = 2\cos\dfrac{2\pi n}{3}.

Como

2022

es múltiplo de

3,

\omega^{2022} = 1,

así que

f(2022) = 1 + 1 = 2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two bases are the primitive cube roots of unity,

\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}

and its conjugate

\omega^2 = e^{-\frac{2\pi i}{3}}.

So

f(n) = \omega^n + \omega^{-n} = 2\cos\dfrac{2\pi n}{3}.

Since

2022

is a multiple of

3,

\omega^{2022} = 1,

so

f(2022) = 1 + 1 = 2.

Thus, the correct answer is E.

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