2022 AMC 12B Problema 10

Question

El hexágono regular

ABCDEF

tiene lado

2.

Sea

G

el punto medio de

\overline{AB},

y sea

H

el punto medio de

\overline{DE}.

¿Cuál es el perímetro de

GCHF

?

Regular hexagon

ABCDEF

has side length

2.

Let

G

be the midpoint of

\overline{AB},

and let

H

be the midpoint of

\overline{DE}.

What is the perimeter of

GCHF?

4\sqrt3

8

4\sqrt5

4\sqrt7

12

Coloca el hexágono en coordenadas con su centro en el origen.

Place the hexagon on coordinates with its center at the origin

Por simetría, los cuatro lados de

GCHF

son iguales; calcula una distancia con la fórmula de la distancia.

By symmetry all four sides of

GCHF

are equal; compute one distance with the distance formula

Coloca el hexágono con centro en el origen:

A = (-1, \sqrt3),

B = (1, \sqrt3),

C = (2, 0),

D = (1, -\sqrt3),

E = (-1, -\sqrt3),

F = (-2, 0).

Entonces

G = (0, \sqrt3)

y

H = (0, -\sqrt3).

Por simetría, los cuatro lados de

GCHF

son iguales, y

GC = \sqrt{2^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt7.

El perímetro es

4\sqrt7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the hexagon with center at the origin:

A = (-1, \sqrt3),

B = (1, \sqrt3),

C = (2, 0),

D = (1, -\sqrt3),

E = (-1, -\sqrt3),

F = (-2, 0).

Then

G = (0, \sqrt3)

and

H = (0, -\sqrt3).

By symmetry all four sides of

GCHF

are equal, and

GC = \sqrt{2^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt7.

The perimeter is

4\sqrt7.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 10 en otros años