2022 AMC 12A Problema 22

Question

Sea

c

un número real, y sean

z_1,

z_2

los dos números complejos que satisfacen la cuadrática

z^2-cz+10=0.

Los puntos

z_1,

z_2,

\dfrac{1}{z_1},

y

\dfrac{1}{z_2}

son los vértices de un cuadrilátero (convexo)

Q

en el plano complejo. Cuando el área de

Q

alcanza su valor máximo, ¿a cuál de los siguientes es

c

el más cercano?

Let

c

be a real number, and let

z_1,

z_2

be the two complex numbers satisfying the quadratic

z^2-cz+10=0.

Points

z_1,

z_2,

\dfrac{1}{z_1},

and

\dfrac{1}{z_2}

are the vertices of a (convex) quadrilateral

Q

in the complex plane. When the area of

Q

obtains its maximum value,

c

is the closest to which of the following?

4.5

5

5.5

6

6.5

Respuesta: A

Conceptos:número complejo trapecio optimización

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Para

c

real con raíces complejas,

z_2=\overline{z_1}

y

|z_1|=|z_2|=\sqrt{10}

For real

c

with complex roots,

z_2=\overline{z_1}

and

|z_1|=|z_2|=\sqrt{10}

Pista grande:

Los cuatro puntos forman un trapecio isósceles simétrico respecto al eje real; expresa su área en términos del ángulo

\theta

de la raíz

The four points form an isosceles trapezoid symmetric about the real axis; write its area in terms of the root’s angle

\theta

Solución:

Si las raíces no son reales, entonces

z_1=\sqrt{10}\,e^{i\theta}

y

z_2=\overline{z_1},

ya que

z_1z_2=10.

Entonces

\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{-i\theta}

y

\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{i\theta}.

Los dos lados verticales de este trapecio tienen longitudes

2\sqrt{10}\sin\theta

y

\frac{2\sin\theta}{\sqrt{10}},

y su separación horizontal es

(\sqrt{10}-\frac{1}{\sqrt{10}})\cos\theta.

Por lo tanto su área es

\frac{99}{10}\sin\theta\cos\theta =\frac{99}{20}\sin2\theta,

que se maximiza en

\theta=45^\circ.

Entonces

c=z_1+z_2

=2\sqrt{10}\cos45^\circ

=2\sqrt5\approx4.47,

el más cercano a

4.5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the roots are non-real, then

z_1=\sqrt{10}\,e^{i\theta}

and

z_2=\overline{z_1},

since

z_1z_2=10.

Then

\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{-i\theta}

and

\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{i\theta}.

The two vertical sides of this trapezoid have lengths

2\sqrt{10}\sin\theta

and

\frac{2\sin\theta}{\sqrt{10}},

and their horizontal separation is

(\sqrt{10}-\frac{1}{\sqrt{10}})\cos\theta.

Hence its area is

\frac{99}{10}\sin\theta\cos\theta =\frac{99}{20}\sin2\theta,

which is maximized at

\theta=45^\circ.