2022 AMC 12A Problema 10

Question

¿De cuántas maneras se pueden dividir los números del

1

al

14

en

7

parejas de modo que en cada pareja el número mayor sea al menos

2

veces el menor?

What is the number of ways the numbers from

1

to

14

can be split into

7

pairs such that for each pair, the greater number is at least

2

times the smaller number?

108

120

126

132

144

Respuesta: E

Conceptos:arreglos con restricciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Un número

m

puede ser el menor de su pareja solo si

2m\le14

A number

m

can be the smaller of its pair only if

2m\le14

Pista grande:

Así que

1

–

7

son los elementos menores y

8

–

14

los mayores; asigna de forma voraz empezando por el número menor más restringido

So

1

–

7

are the smaller elements and

8

–

14

the larger; assign greedily from the tightest smaller number

Solución:

Cualquier número

8

o mayor no puede ser un elemento menor (su doble supera

14

), así que

8

–

14

son todos elementos mayores y

1

–

7

son todos elementos menores.

Empareja cada menor

s

con un mayor

g\ge2s.

Procesando desde el más restrictivo:

s=7

obliga a

g=14

(

1

manera); luego

s=6

tiene

\{12,13\}

disponibles (

2

);

s=5

tiene

3;

s=4

tiene

4;

s=3

tiene

3;

s=2

tiene

2;

s=1

tiene

1.

El número de emparejamientos es

1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Any number

8

or larger cannot be a smaller element (its double exceeds

14

), so

8

–

14

are all larger elements and

1

–

7

are all smaller elements.

Match each smaller

s

to a larger

g\ge2s.

Processing from the most restrictive:

s=7

forces

g=14

(

1

way); then

s=6

has

\{12,13\}

left (

2

);

s=5

has

3;

s=4

has

4;

s=3

has

3;

s=2

has

2;

s=1

has

1.

The number of matchings is

1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144.

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12A Problema 10

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años