2021 AMC 12B Fall Problema 8

Question

El producto de las longitudes de los dos lados congruentes de un triángulo isósceles obtuso es igual al producto de la base y el doble de la altura del triángulo sobre la base. ¿Cuál es la medida, en grados, del ángulo del vértice de este triángulo?

The product of the lengths of the two congruent sides of an obtuse isosceles triangle is equal to the product of the base and twice the triangle’s height to the base. What is the measure, in degrees, of the vertex angle of this triangle?

105

120

135

150

165

Respuesta: D

Conceptos:triángulo isósceles área del triángulo trigonometría

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Escribe el área de dos maneras usando los lados iguales y el ángulo del vértice

\theta

.

Write the area two ways using the legs and the vertex angle

\theta

Pista grande:

El área es a la vez

\tfrac12 b h

y

\tfrac12 s^2 \sin\theta

.

The area is both

\tfrac12 b h

and

\tfrac12 s^2 \sin\theta

Solución:

Sean los lados congruentes de longitud

s,

la base

b,

y la altura sobre la base

h.

La condición dada es

s^2 = 2bh.

El área es igual a

\tfrac12 bh

y también a

\tfrac12 s^2 \sin\theta,

donde

\theta

es el ángulo del vértice. Así,

bh = s^2 \sin\theta.

Sustituyendo

s^2 = 2bh

se obtiene

bh = 2bh\sin\theta,

así que

\sin\theta = \tfrac12.

Como el triángulo es obtuso,

\theta = 150^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the congruent sides have length

s,

the base be

b,

and the height to the base be

h.

The given condition is

s^2 = 2bh.

The area equals

\tfrac12 bh

and also

\tfrac12 s^2 \sin\theta,

where

\theta

is the vertex angle. So

bh = s^2 \sin\theta.

Substituting

s^2 = 2bh

gives

bh = 2bh\sin\theta,

so

\sin\theta = \tfrac12.

Since the triangle is obtuse,

\theta = 150^\circ.

Thus, the correct answer is D.