2021 AMC 12B Fall Problema 19

Question

Polígonos regulares de

5,

6,

7,

y

8

lados están inscritos en el mismo círculo. No hay dos polígonos que compartan un vértice, y no hay tres de sus lados que se corten en un punto común. ¿En cuántos puntos dentro del círculo se cortan dos de sus lados?

Regular polygons with

5,

6,

7,

and

8

sides are inscribed in the same circle. No two of the polygons share a vertex, and no three of their sides intersect at a common point. At how many points inside the circle do two of their sides intersect?

52

56

60

64

68

Respuesta: E

Conceptos:polígono regular conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Considera cada par de polígonos por separado.

Consider each pair of polygons separately

Pista grande:

Dos polígonos inscritos con

m

y

n

lados en posición general se cruzan en

2\min(m, n)

puntos.

Two inscribed polygons with

m

and

n

sides in general position cross at

2\min(m, n)

points

Solución:

Para dos polígonos convexos inscritos en el mismo círculo sin vértices compartidos, cada lado del polígono menor cruza la frontera del polígono mayor exactamente dos veces, así que se encuentran en

2\min(m, n)

puntos.

Sumando sobre todos los pares:

(5,6), (5,7), (5,8)

dan

10

cada uno;

(6,7), (6,8)

dan

12

cada uno;

(7,8)

da

14.

El total es

3 \cdot 10 + 2 \cdot 12 + 14 = 68.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For two convex polygons inscribed in the same circle with no shared vertices, each side of the smaller polygon crosses the larger polygon’s boundary exactly twice, so they meet at

2\min(m, n)

points.

Summing over all pairs:

(5,6), (5,7), (5,8)

give

10

each;

(6,7), (6,8)

give

12

each;

(7,8)

gives

14.

The total is

3 \cdot 10 + 2 \cdot 12 + 14 = 68.

Thus, the correct answer is E.