2021 AMC 12B Fall Problema 11

Question

Una lanza

6

dados estándar de

6

caras simultáneamente y calcula el producto de los

6

números obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea divisible entre

4

?

Una rolls

6

standard

6

-sided dice simultaneously and calculates the product of the

6

numbers obtained. What is the probability that the product is divisible by

4?

\dfrac{3}{4}

\dfrac{57}{64}

\dfrac{59}{64}

\dfrac{187}{192}

\dfrac{63}{64}

Respuesta: C

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Usa conteo complementario: el producto tiene menos de dos factores de

2

.

Use complementary counting: the product has fewer than two factors of

2

Pista grande:

Sigue si cada dado aporta cero, uno o dos factores de

2

.

Track whether each die contributes zero, one, or two factors of

2

Solución:

El producto no es divisible entre

4

cuando tiene a lo sumo un factor de

2.

Cada dado es impar con probabilidad

\tfrac12,

aporta exactamente un factor de

2

(un

2

o un

6

) con probabilidad

\tfrac13,

y dos factores (un

4

) con probabilidad

\tfrac16.

Los seis impares:

\left(\tfrac12\right)^6 = \tfrac{1}{64}.

Exactamente un dado un

2

o un

6

y el resto impares:

6 \cdot \tfrac13 \cdot \left(\tfrac12\right)^5 = \tfrac{1}{16} = \tfrac{4}{64}.

El complemento es

\tfrac{1}{64} + \tfrac{4}{64} = \tfrac{5}{64},

así que la respuesta es

1 - \tfrac{5}{64} = \tfrac{59}{64}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The product fails to be divisible by

4

when it has at most one factor of

2.

Each die is odd with probability

\tfrac12,

contributes exactly one factor of

2

(a

2

or

6

) with probability

\tfrac13,

and two factors (a

4

) with probability

\tfrac16.

All six odd:

\left(\tfrac12\right)^6 = \tfrac{1}{64}.

Exactly one die a

2

or

6

and the rest odd:

6 \cdot \tfrac13 \cdot \left(\tfrac12\right)^5 = \tfrac{1}{16} = \tfrac{4}{64}.

The complement is

\tfrac{1}{64} + \tfrac{4}{64} = \tfrac{5}{64},

so the answer is

1 - \tfrac{5}{64} = \tfrac{59}{64}.

Thus, the correct answer is C.