2021 AMC 12A Fall Problema 11

Question

Considera dos círculos concéntricos de radio

17

y

19.

El círculo más grande tiene una cuerda, de la cual la mitad queda dentro del círculo más pequeño. ¿Cuál es la longitud de la cuerda en el círculo más grande?

Consider two concentric circles of radius

17

and

19.

The larger circle has a chord, half of which lies inside the smaller circle. What is the length of the chord in the larger circle?

12\sqrt{2}

10\sqrt{3}

\sqrt{17 \cdot 19}

18

8\sqrt{6}

Respuesta: E

Conceptos:cuerda Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Sea la cuerda a distancia

d

del centro. Su semilongitud es

\sqrt{19^2 - d^2},

y la parte dentro del círculo pequeño tiene semilongitud

\sqrt{17^2 - d^2}

.

Let the chord be at distance

d

from the center. Its half-length is

\sqrt{19^2 - d^2},

and the part inside the small circle has half-length

\sqrt{17^2 - d^2}

Pista grande:

“La mitad queda dentro” significa que la porción interior es igual a la mitad de toda la cuerda:

2\sqrt{17^2 - d^2} = \sqrt{19^2 - d^2}

.

“Half lies inside” means the inside portion equals half the whole chord:

2\sqrt{17^2 - d^2} = \sqrt{19^2 - d^2}

Solución:

Sea la cuerda a distancia

d

del centro común. Su longitud total es

2\sqrt{361 - d^2},

y la porción dentro del círculo más pequeño tiene longitud

2\sqrt{289 - d^2}.

Como la mitad de la cuerda queda dentro,

2\sqrt{289 - d^2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{361 - d^2}.

Elevando al cuadrado da

4(289 - d^2) = 361 - d^2,

así que

3d^2 = 795

y

d^2 = 265.

La longitud de la cuerda es

2\sqrt{361 - 265} = 2\sqrt{96} = 8\sqrt{6}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the chord lie at distance

d

from the common center. Its total length is

2\sqrt{361 - d^2},

and the portion inside the smaller circle has length

2\sqrt{289 - d^2}.

Since half the chord lies inside,

2\sqrt{289 - d^2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{361 - d^2}.

Squaring gives

4(289 - d^2) = 361 - d^2,

so

3d^2 = 795

and

d^2 = 265.

The chord length is

2\sqrt{361 - 265} = 2\sqrt{96} = 8\sqrt{6}.

Thus, the correct answer is E.