2021 AMC 12B Spring Problema 11

Intenta el Problema 11 del 2021 AMC 12B Spring a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

El triángulo

ABC

tiene

AB=13,

BC=14,

y

AC=15.

Sea

P

el punto en

\overline{AC}

tal que

PC=10.

Hay exactamente dos puntos

D

y

E

en la recta

BP

tales que los cuadriláteros

ABCD

y

ABCE

son trapecios. ¿Cuál es la distancia

DE

?

Triangle

ABC

has

AB=13,

BC=14,

and

AC=15.

Let

P

be the point on

\overline{AC}

such that

PC=10.

There are exactly two points

D

and

E

on line

BP

such that quadrilaterals

ABCD

and

ABCE

are trapezoids. What is the distance

DE?

\dfrac{42}{5}

6\sqrt2

\dfrac{84}{5}

12\sqrt2

18

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica rectas paralelas trapecio

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Coloca

A=(0,0),

C=(15,0);

entonces

B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)

y

P=(5,0)

Place

A=(0,0),

C=(15,0);

then

B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)

and

P=(5,0)

Pista grande:

Un trapecio requiere

CD\parallel AB,

el otro requiere

AE\parallel BC;

halla dónde corta cada recta paralela a la recta

BP

One trapezoid needs

CD\parallel AB,

the other needs

AE\parallel BC;

find where each parallel line meets line

BP

Solución:

Coloca

A=(0,0)

y

C=(15,0).

Entonces

B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right),

y como

PC=10,

P=(5,0).

La recta

BP

tiene pendiente

7,

así que es

y=7(x-5).

Para que

ABCD

sea un trapecio con

D

en la recta

BP,

toma

CD\parallel AB.

La recta por

C

paralela a

AB

corta a la recta

BP

en

(\tfrac95,-\tfrac{112}{5}).

Para

ABCE

con

E

en la recta

BP,

toma

AE\parallel BC.

La recta por

A

paralela a

BC

corta a la recta

BP

en

(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5}).

Las diferencias entre sus coordenadas son

\tfrac{12}{5}

y

\tfrac{84}{5},

por lo que

DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place

A=(0,0)

and

C=(15,0).

Then

B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right),

and since

PC=10,

P=(5,0).

Line

BP

has slope

7,

so it is

y=7(x-5).

For

ABCD

to be a trapezoid with

D

on line

BP,

take

CD\parallel AB.

The line through

C

parallel to

AB

meets line

BP

at

(\tfrac95,-\tfrac{112}{5}).

For

ABCE

with

E

on line

BP,

take

AE\parallel BC.

The line through

A

parallel to

BC

meets line

BP

at

(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5}).

Their coordinate differences are

\tfrac{12}{5}

and

\tfrac{84}{5},

so

DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 11 en otros años